Encontrar todas las soluciones a $cx \leq |x|$

Question

Estoy buscando encontrar todo $c \in \mathbb{R}$ que resuelven la desigualdad:

$cx \leq |x|$ para todos $x \in \mathbb{R}$

Sé que la solución debería ser $-1 \leq c \leq 1$ pero no sé cómo se supone que voy a llegar allí.

¿Podría alguien indicarme cómo navegar por el valor absoluto cuando hay una x fuera del valor absoluto?

Answer 1

Hay que tener en cuenta dos casos: $x>0$ y $x<0$ .
Si $x<0$ entonces $|x|=-x$ .
Así que $cx\leq|x|\rightarrow c\geq\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$

Ahora considere lo que sucede para $x>0$ , a ver si puedes llegar a la solución $c\leq1$

Answer 2

La ecuación que se quiere resolver es equivalente al sistema de las dos ecuaciones : $$\forall x > 0, cx \leq x \quad \text{ and } \quad \forall x < 0, cx \leq -x $$

Obviamente, las soluciones de la primera ecuación son las de todas las $c \leq 1$ y las soluciones de la segunda son todas las $c \geq -1$ .

Así, las soluciones de su ecuación son todas las $-1 \leq c\leq 1$ .