¿Cómo resolver expresiones exponenciales?

Question

Hay algunas preguntas que tengo.

Pregunta 1) $$ (x^2/5)^3 = 2^6/5^y$$ Para encontrar el $y$ He utilizado la misma base

$$ 1/5^3 = 1/5y$$ El profesor dijo que el exponente será el mismo si es igual, así que $ y = 3$ . Mi pregunta es cómo puedo encontrar $x$ ?? Porque no encuentro la misma base.

Pregunta 2)

$$ (5 \cdot 6 )^2 = 5^x6^y$$ No tienen la misma base, ¿cómo los resolvería?

Answer 1

PISTA (respuesta a la primera pregunta, la segunda ya la descubrirás):

$$\left(\frac{x^2}{5}\right)^3=\frac{2^6}{5^y} \Longleftrightarrow$$ $$\frac{x^6}{125}=\frac{64}{5^y} \Longleftrightarrow$$ $$8000=x^6 \cdot 5^y \Longleftrightarrow$$ $$8000=x^6 \cdot 5^y \Longleftrightarrow$$ $$x^6 \cdot 5^y = 8000 \Longleftrightarrow$$ $$ 5^y = \frac{8000}{x^6} \Longleftrightarrow$$ $$ y = \frac{\ln\left(\frac{8000}{x^6}\right)}{\ln(5)}+\frac{2i\pi n}{\ln(5)}$$

Con $n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

No estoy seguro $$ \left(\frac{x^2}{5}\right)^3 = \frac{x^6}{5^3} = \frac{2^6}{5^y} $$ por lo que la solución más sencilla es $y=3$ y $x=2$ . de forma similar para la segunda ecuación. $$ (5\cdot 6)^2 = 5^2\cdot 6^2 = 5^x6^y $$ implica $x=2$ y $y=2$ .

Pero su pregunta no me queda del todo clara.

Answer 3

Escribiría $$\left(\frac{x^2}{5}\right)^3=\frac{2^6}{5^y}$$ equivale a $$\left(\frac{x}{2}\right)^6=5^{3-y}$$
para 2) podemos escribir $$5^2\cdot 6^2=5^x\cdot 6^y$$ y luego $$5^{2-x}=6^{y-2}$$ y podemos resolver esto para una variable.