¿Cómo puedo aplicar el $n=k+1$ paso para la prueba por inducción: $2+5+8+...+(3n-1) = {1\over 2} n(3n+1)$

Question

Intentando utilizar la inducción matemática, he utilizado primero el caso base $n=1$

$(3-1)=0.5(3+1)$
$2={2\over 4}$
$2=2$

Creo que lo he hecho correctamente. A continuación asumo que es cierto que $n=k$

$2+5+8+...+(3k-1)={1\over 2}k(3k+1)$

Ahora se supone que debo mostrar la verdad para $n=k+1$ pero aquí es donde no estoy seguro porque no sé exactamente cómo puedo añadir correctamente $k+1$ a la izquierda y a la derecha del $n=k$ ecuación. Esto es lo que he intentado:

$2+5+8+...+(3k-1)+(3(k+1)-1)={1\over 2}k+1(3(k+1)+1)$

¿He hecho esto correctamente? Puedo seguir los ejemplos más sencillos de inducción matemática pero estoy absolutamente perplejo sobre cómo hacer este.

Answer 1

La última ecuación no es correcta. Debería decir

$$2+5+8+...+(3k−1)+(3(k+1)−1)=\frac{1}{2}(k+1)(3(k+1)+1).$$

Answer 2

Por lo tanto, asumimos para nuestra hipótesis de inducción que $2+5+8+\dots + (3k-1)=\frac{1}{2}k(3k+1)$

Ya has demostrado el caso base.

Nosotros quieren probar de lo que se deduce que $2+5+8+\dots+(3k-1)+(3(k+1)-1)=\frac{1}{2}(k+1)(3(k+1)+1)$ . Para ello, partimos de un lado de la expresión y mediante una serie de igualdades y aplicando nuestra hipótesis de inducción demostramos que por transitividad es igual al otro lado.

$\begin{array}{rl}2+5+8+\dots+(3k-1)+(3(k+1)-1)&=^{\color{blue}{\text{I.H.}}}\frac{1}{2}k(3k+1) + (3(k+1)-1)\\ &=\frac{1}{2}(3k^2+k)+(3k+2)\\ &=\frac{1}{2}(3k^2+k)+\frac{1}{2}(6k+4)\\ &=\frac{1}{2}(3k^2+7k+4)\\&=\frac{1}{2}(k+1)(3k+4)\\ &=\frac{1}{2}(k+1)(3(k+1)+1)~~\square\end{array}$

Ayuda a tener claro dónde exactamente has utilizado tu hipótesis de inducción. En el trabajo anterior se produjo en la primera línea donde lo marqué con un $\color{blue}{\text{I.H.}}$ lo que nos permitió deshacernos de la suma, dejando sólo el último término de la suma y el resultado de la suma de todos los términos anteriores.

A partir de ahí, era una cuestión de manipulación algebraica. Mi proceso de pensamiento fue que quería expandir todo, combinarlos y luego refactorizar las expresiones. Había ese desordenado $\frac{1}{2}$ Sin embargo, preferí mantener la mayor parte de mi aritmética con números enteros en lugar de fracciones, así que opté por cambiar la frase parentética de la derecha para tener un factor extra de $\frac{1}{2}$ por delante mediante la técnica de "multiplicar por uno", que en este caso significaba multiplicar simultáneamente por $2$ y $\frac{1}{2}$ . Esto permitió combinar las frases parentéticas. Una vez combinadas puedes utilizar cualquier técnica con la que te sientas cómodo para factorizarlas (por ejemplo, la fórmula cuadrática).

Por último, un poco más de manipulación algebraica para ponerlo en la forma exacta que esperábamos para completar el paso de inducción.