Actualmente soy un joven matemático, no tan joven, que está terminando su segundo postdoc. He desarrollado un interés por temas bastante diferentes en los últimos años, pero constantemente, poco a poco convergió hacia algo que tiene que ver con (pero en este momento estoy bastante inseguro es ) la teoría de las categorías y sus aplicaciones. Lo que me motivó en el estudio de las matemáticas en su día fue el deseo de comprender los mecanismos que rigen la topología algebraica; entonces apareció la palabra "functor" y caí en la madriguera.
A estas alturas, la mayoría de ustedes esperarán que no esté insatisfecho con la forma que tiene la teoría de las categorías hoy en día: ¿no es una mezcla borrosa de teoría de la homotopía y teoría de las categorías precisamente lo que estoy abordando?
En cambio, estoy profundamente decepcionado por la deriva que ha tomado el pensamiento categórico en los últimos diez años aproximadamente. Y esto es así porque cuanto más me detengo en lo que han llegado a ser la "teoría de las categorías superiores" y la "teoría formal de la homotopía", menos me gustan ambas (en cierto modo me referiré a ambas con el término portmanteau "HTT"; subrayo que este acrónimo no tiene ningún significado particular):
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Todavía no está del todo claro de qué sirve el HTT para los teóricos de la categoría. A mi modo de ver, es ciertamente una obra maestra de la matemática aplicada (en el sentido de que sus tareas descansan en el uso de la conceptualización como herramienta, no como objetivo), pero no parece añadir ni un solo grano de arena al mar de la teoría de las categorías; en cambio, vuelve a hacer todo lo que hay que saber para comportarse "como si" su homotopía-cosas fueron cosas o para contabilizar de forma compacta una cantidad infinita de datos en una cantidad finita de espacio. Estas son motivaciones prácticas honestas, abordadas de una manera que no puedo juzgar; lo que sí puedo juzgar, es el impacto que esta impresionante cantidad de material está teniendo en la teoría de categorías pensada no como una parte de las matemáticas, sino como una camino mirar las matemáticas desde fuera. Creo que este impacto es casi nulo. Por no hablar de que a mi entender hacer la teoría de la categoría sólo a la manera australiana; todos los demás son aplicando teoría de la categoría hacia la solución de un problema matemático específico. Y, sin embargo, no se me ocurren dos lenguas más distantes que la TC australiana y la HTT; ¿qué me pasa? ¿Qué le pasa a la comunidad? Seguro que ha habido intenta a eludir este ; siento que esto es un comienzo, y de alguna manera el primer ejemplo de HTT hecho por medios verdaderamente categóricos. Pero al final, abres y lees estos documentos, sólo para encontrar que todavía necesitas conocer conjuntos simpliciales y teoría de la homotopía y la jerga de los topólogos. Esto no es lo que busco.
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Cuando se utiliza la HTT, no se está proporcionando una base para la teoría de la categoría (superior); en cambio, se está confiando en bastante fuerte en la estructura de una sola categoría (conjuntos simpliciales), y en su combinatoria bastante complicada. Me deja perplejo la ingenuidad de la gente que cree que la HTT puede servir de base para la teoría de las categorías superiores; me asusta el hecho de que esta gente parece estar satisfecho por lo que tienen. Entonces, ¿debo hacerlo? ¿O debo buscar más? ¿Y dónde? Luchando con los libros que tenía, no he podido encontrar una sola palabra convincente sobre ninguno de estos términos (fundamento, categoría, teoría). De nuevo, parece que la HTT es un marco para realizar cálculos (ya sea en la teoría de la homotopía estable o en la teoría de la intersección o en otra cosa), en lugar de un lenguaje que explique la razón profunda por la que ya sabes qué cosas son íntimamente (esto es lo que hace la teoría de las categorías, para mí). También es bastante esquizofrénico que HTT exhiba la doble naturaleza de un dispositivo que da por sentada (casi toda) la teoría de las categorías, y al mismo tiempo quiera reconstruirla desde cero. ¿Tengo que saber ya estas cosas, para aprender estas cosas?
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Existe una asimetría bastante profunda entre la teoría de las categorías y la teoría de la homotopía: estos dos campos, aunque están íntimamente ligados, viven planetas diferentes cuando se trata de la divulgación y el aprendizaje. Por su propia naturaleza, el pensamiento categorial es trivial; hay pocas cosas que demostrar, y todas ellas se hacen con el mismo conjunto de herramientas, y en cambio hay un esfuerzo extremo en esculpir definiciones profundas que puedan convertirse en hitos del pensamiento (tomo "topos elementales" como ejemplo de tal definición). Por el contrario, la teoría de la homotopía es un conjunto disperso de resultados, fragmentado en una nube de subcampos, que hablan diferentes dialectos; cada demostración es técnicamente un lío, utiliza ideas ad-hoc, construcciones complicadas, obliga a reaprender cosas desde cero... en pocas palabras, no hay un Bourbaki para la topología algebraica [editar: ahora sé que hay uno, pero es evidentemente insuficiente].
Esta doble naturaleza implica que no hay forma de aprender HTT si (como yo) no estás tan familiarizado con el uso de argumentos concretos y dolorosos; en pocas palabras, si no eres un matemático lo suficientemente bueno. La complejidad de las técnicas que se pide dominar es desalentadora y deja fuera a algunos principiantes, así como a algunas personas atrapadas en el momento equivocado de su proceso de formación. Claro que la situación está cambiando; pero lo hace lentamente, demasiado lentamente para percibir un cambio real en el ritmo, o en la sensibilidad, o en el sentido de prioridad de la comunidad.
Hasta ahora, todos los intentos que he hecho para entrar en el campo han fracasado de la manera más dolorosa. Siento que no hay manera de que pueda entender argumentos fragmentados y extraños como esos. Los pocos que puedo seguir, serían absolutamente incapaces de repetirlos, o de reformularlos para demostrar algo que necesito: simplemente están fuera del lenguaje con el que me siento cómodo. Cada vez que tengo que comprobar si algo es cierto, no tengo absolutamente ninguna idea de cómo operar, aparte de pretender que lo que hago ocurre en/para una categoría 1. Y esta incapacidad no es conceptual, es totalmente práctica, y aparentemente irresoluble.
Aprender HTT requiere abandonar el pensamiento categórico de vez en cuando; te ves obligado a demostrar que algo es cierto en un modelo específico , utilizando una técnica bastante específica y particular, sin apoyarse en argumentos completamente formales. Es un lenguaje insatisfactorio y pobre desde el punto de vista de un teórico de la categoría y la gente parece evitar abordar los fundamentos para hacer geometría y topología. Lo cual está bien, pero no es de mi agrado.
A estas alturas es muy probable que, por falta de capacidad, o simplemente porque no puedo reconocerme en (la ausencia de) su filosofía, no forme parte del grupo de personas que serán recordadas por sus contribuciones a la teoría de las categorías superiores. ¿Qué haré entonces? La cámara de eco en la que vivo parece sugerir un enfoque de "ámalo o déjalo", sin espacio para gente a la que no le importa la teoría de la homotopía cromática, la geometría algebraica, la geometría diferencial, la teoría de la deformación...
Entonces, ¿qué hago? Puedo enumerar unas cuantas respuestas, todas igualmente aterradoras:
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¿Sentarse, aprender la lección y fingir ser un verdadero matemático, aunque apenas sepa nada de la mencionada teoría de la homotopía, geometría algebraica, geometría diferencial, teoría de la deformación? Hasta cierto punto, está funcionando: mi tesis recibió informes sorprendentemente positivos, resulta que soy capaz de mantener un puesto, aunque disperso y temporal. Pero también estoy lleno de malestar; temo que mi naturaleza me impida ser un buen matemático; estoy insatisfecho y siento que estoy negando mi verdadero yo. Y lo que es peor: siento que tienen para negarlo, publicando este desvarío con una cuenta desechable, porque las ideas que propuse aquí son impopulares y podrían costarme la vida académica.
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¿Debo dejar las matemáticas, ya que a estas alturas no hay tiempo para aprender algo nuevo (tengo que emplear mi tiempo escribiendo para evitar la muerte)? Tengo que hacer matemáticas con lo que tengo; siento lo que tengo, lo que conozca en el nivel profundo que quiero, es apenas nada. Y no puedo usar cosas que no conozco, esa es la regla.
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¿Debo afrontar el hecho de que he sido derrotado en mi deseo más profundo, convirtiéndome exactamente en el tipo de matemático (y de ser humano) que siempre he odiado, el que utiliza un teorema como una caja negra y hace conjeturas sobre cosas de las que ignora el verdadero significado? Pero las matemáticas funcionan así: no tiene sentido saber que algo es cierto, hasta que se ignora por qué es cierto. Siguiendo una idea bastante común entre los teóricos de la categoría, me gustaría ir más allá, sabiendo por qué algo es trivial . No quiero conocer una definición, quiero saber por qué esa definición es la única forma posible de hablar del definiendum. Y si no lo es, quiero ser consciente de la totalidad de esas formas: ¿tiene esa totalidad una estructura? ¿La presencia/ausencia de la misma tiene un significado? ¿Existe una totalidad de totalidades, y cómo se comporta? Cuando me acerqué por primera vez a la HTT pensé que responder a estas mismas preguntas era su principal tarea. Puedes ver lo profundamente decepcionado que estoy. Y pueden ver el origen de mi sentimiento de derrota: me siento estúpido, mucho más limitado, distraído del aprendizaje de los tecnicismos, mucho más que las personas que no abordan esta búsqueda de un sentido absoluto. Más jóvenes que yo, muchos colegas comenzaron a estudiar HTT, alcanzando rápidamente un cierto dominio de las palabras básicas y, posteriormente, comenzaron produciendo matemáticas fuera de este comando. Para ellos, la teoría de categorías es una matemática más, que no se diferencia de otra (tal vez más bonita); haces tus ejercicios, aprendes a demostrar teoremas, y ya está. Para mí, la teoría de categorías es la única forma satisfactoria de pensar. ¿Estoy agobiado por esta creencia hasta el punto de que me impide ser un buen matemático?
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Las cuestiones que he planteado en el punto 3 no pertenecen a las matemáticas; debería hacer otra cosa. De hecho, la única razón por la que traté de convertirme en matemático fue porque sentí que las matemáticas son el único significado correcto de la palabra "filosofía", y la única forma correcta de seguirla. Pero pasarse a la filosofía sería, si cabe, una elección aún más desafortunada: los filósofos suelen ser personas tontas e ignorantes que pretenden ser capaces de explicar la ética (=una tarea complicada y esquiva) ignorando el álgebra lineal (=algo que debe ser el núcleo común de conocimientos de toda persona culta).
Una de las respuestas más abajo me aconseja "dar otra oportunidad a HTT".
Esto es qué hacer. No tengo ni idea de cómo y es por esto que estoy buscando ayuda matemática. No encuentro la manera de salir de este callejón sin salida: hacer matemáticas nuevas y sin pulir es un acontecimiento social, pero he vivido los años de mi doctorado aislado y sin una guía precisa aparte de mí mismo.
