La "deriva derivada" es bastante insatisfactoria y peligrosa para la teoría de categorías (o al menos, para mí)

Question

Actualmente soy un joven matemático, no tan joven, que está terminando su segundo postdoc. He desarrollado un interés por temas bastante diferentes en los últimos años, pero constantemente, poco a poco convergió hacia algo que tiene que ver con (pero en este momento estoy bastante inseguro es ) la teoría de las categorías y sus aplicaciones. Lo que me motivó en el estudio de las matemáticas en su día fue el deseo de comprender los mecanismos que rigen la topología algebraica; entonces apareció la palabra "functor" y caí en la madriguera.

A estas alturas, la mayoría de ustedes esperarán que no esté insatisfecho con la forma que tiene la teoría de las categorías hoy en día: ¿no es una mezcla borrosa de teoría de la homotopía y teoría de las categorías precisamente lo que estoy abordando?

En cambio, estoy profundamente decepcionado por la deriva que ha tomado el pensamiento categórico en los últimos diez años aproximadamente. Y esto es así porque cuanto más me detengo en lo que han llegado a ser la "teoría de las categorías superiores" y la "teoría formal de la homotopía", menos me gustan ambas (en cierto modo me referiré a ambas con el término portmanteau "HTT"; subrayo que este acrónimo no tiene ningún significado particular):

1. Todavía no está del todo claro de qué sirve el HTT para los teóricos de la categoría. A mi modo de ver, es ciertamente una obra maestra de la matemática aplicada (en el sentido de que sus tareas descansan en el uso de la conceptualización como herramienta, no como objetivo), pero no parece añadir ni un solo grano de arena al mar de la teoría de las categorías; en cambio, vuelve a hacer todo lo que hay que saber para comportarse "como si" su homotopía-cosas fueron cosas o para contabilizar de forma compacta una cantidad infinita de datos en una cantidad finita de espacio. Estas son motivaciones prácticas honestas, abordadas de una manera que no puedo juzgar; lo que sí puedo juzgar, es el impacto que esta impresionante cantidad de material está teniendo en la teoría de categorías pensada no como una parte de las matemáticas, sino como una camino mirar las matemáticas desde fuera. Creo que este impacto es casi nulo. Por no hablar de que a mi entender hacer la teoría de la categoría sólo a la manera australiana; todos los demás son aplicando teoría de la categoría hacia la solución de un problema matemático específico. Y, sin embargo, no se me ocurren dos lenguas más distantes que la TC australiana y la HTT; ¿qué me pasa? ¿Qué le pasa a la comunidad? Seguro que ha habido intenta a eludir este ; siento que esto es un comienzo, y de alguna manera el primer ejemplo de HTT hecho por medios verdaderamente categóricos. Pero al final, abres y lees estos documentos, sólo para encontrar que todavía necesitas conocer conjuntos simpliciales y teoría de la homotopía y la jerga de los topólogos. Esto no es lo que busco.

2. Cuando se utiliza la HTT, no se está proporcionando una base para la teoría de la categoría (superior); en cambio, se está confiando en bastante fuerte en la estructura de una sola categoría (conjuntos simpliciales), y en su combinatoria bastante complicada. Me deja perplejo la ingenuidad de la gente que cree que la HTT puede servir de base para la teoría de las categorías superiores; me asusta el hecho de que esta gente parece estar satisfecho por lo que tienen. Entonces, ¿debo hacerlo? ¿O debo buscar más? ¿Y dónde? Luchando con los libros que tenía, no he podido encontrar una sola palabra convincente sobre ninguno de estos términos (fundamento, categoría, teoría). De nuevo, parece que la HTT es un marco para realizar cálculos (ya sea en la teoría de la homotopía estable o en la teoría de la intersección o en otra cosa), en lugar de un lenguaje que explique la razón profunda por la que ya sabes qué cosas son íntimamente (esto es lo que hace la teoría de las categorías, para mí). También es bastante esquizofrénico que HTT exhiba la doble naturaleza de un dispositivo que da por sentada (casi toda) la teoría de las categorías, y al mismo tiempo quiera reconstruirla desde cero. ¿Tengo que saber ya estas cosas, para aprender estas cosas?

3. Existe una asimetría bastante profunda entre la teoría de las categorías y la teoría de la homotopía: estos dos campos, aunque están íntimamente ligados, viven planetas diferentes cuando se trata de la divulgación y el aprendizaje. Por su propia naturaleza, el pensamiento categorial es trivial; hay pocas cosas que demostrar, y todas ellas se hacen con el mismo conjunto de herramientas, y en cambio hay un esfuerzo extremo en esculpir definiciones profundas que puedan convertirse en hitos del pensamiento (tomo "topos elementales" como ejemplo de tal definición). Por el contrario, la teoría de la homotopía es un conjunto disperso de resultados, fragmentado en una nube de subcampos, que hablan diferentes dialectos; cada demostración es técnicamente un lío, utiliza ideas ad-hoc, construcciones complicadas, obliga a reaprender cosas desde cero... en pocas palabras, no hay un Bourbaki para la topología algebraica [editar: ahora sé que hay uno, pero es evidentemente insuficiente].

Esta doble naturaleza implica que no hay forma de aprender HTT si (como yo) no estás tan familiarizado con el uso de argumentos concretos y dolorosos; en pocas palabras, si no eres un matemático lo suficientemente bueno. La complejidad de las técnicas que se pide dominar es desalentadora y deja fuera a algunos principiantes, así como a algunas personas atrapadas en el momento equivocado de su proceso de formación. Claro que la situación está cambiando; pero lo hace lentamente, demasiado lentamente para percibir un cambio real en el ritmo, o en la sensibilidad, o en el sentido de prioridad de la comunidad.

Hasta ahora, todos los intentos que he hecho para entrar en el campo han fracasado de la manera más dolorosa. Siento que no hay manera de que pueda entender argumentos fragmentados y extraños como esos. Los pocos que puedo seguir, serían absolutamente incapaces de repetirlos, o de reformularlos para demostrar algo que necesito: simplemente están fuera del lenguaje con el que me siento cómodo. Cada vez que tengo que comprobar si algo es cierto, no tengo absolutamente ninguna idea de cómo operar, aparte de pretender que lo que hago ocurre en/para una categoría 1. Y esta incapacidad no es conceptual, es totalmente práctica, y aparentemente irresoluble.

Aprender HTT requiere abandonar el pensamiento categórico de vez en cuando; te ves obligado a demostrar que algo es cierto en un modelo específico , utilizando una técnica bastante específica y particular, sin apoyarse en argumentos completamente formales. Es un lenguaje insatisfactorio y pobre desde el punto de vista de un teórico de la categoría y la gente parece evitar abordar los fundamentos para hacer geometría y topología. Lo cual está bien, pero no es de mi agrado.

A estas alturas es muy probable que, por falta de capacidad, o simplemente porque no puedo reconocerme en (la ausencia de) su filosofía, no forme parte del grupo de personas que serán recordadas por sus contribuciones a la teoría de las categorías superiores. ¿Qué haré entonces? La cámara de eco en la que vivo parece sugerir un enfoque de "ámalo o déjalo", sin espacio para gente a la que no le importa la teoría de la homotopía cromática, la geometría algebraica, la geometría diferencial, la teoría de la deformación...

Entonces, ¿qué hago? Puedo enumerar unas cuantas respuestas, todas igualmente aterradoras:

1. ¿Sentarse, aprender la lección y fingir ser un verdadero matemático, aunque apenas sepa nada de la mencionada teoría de la homotopía, geometría algebraica, geometría diferencial, teoría de la deformación? Hasta cierto punto, está funcionando: mi tesis recibió informes sorprendentemente positivos, resulta que soy capaz de mantener un puesto, aunque disperso y temporal. Pero también estoy lleno de malestar; temo que mi naturaleza me impida ser un buen matemático; estoy insatisfecho y siento que estoy negando mi verdadero yo. Y lo que es peor: siento que tienen para negarlo, publicando este desvarío con una cuenta desechable, porque las ideas que propuse aquí son impopulares y podrían costarme la vida académica.

2. ¿Debo dejar las matemáticas, ya que a estas alturas no hay tiempo para aprender algo nuevo (tengo que emplear mi tiempo escribiendo para evitar la muerte)? Tengo que hacer matemáticas con lo que tengo; siento lo que tengo, lo que conozca en el nivel profundo que quiero, es apenas nada. Y no puedo usar cosas que no conozco, esa es la regla.

3. ¿Debo afrontar el hecho de que he sido derrotado en mi deseo más profundo, convirtiéndome exactamente en el tipo de matemático (y de ser humano) que siempre he odiado, el que utiliza un teorema como una caja negra y hace conjeturas sobre cosas de las que ignora el verdadero significado? Pero las matemáticas funcionan así: no tiene sentido saber que algo es cierto, hasta que se ignora por qué es cierto. Siguiendo una idea bastante común entre los teóricos de la categoría, me gustaría ir más allá, sabiendo por qué algo es trivial . No quiero conocer una definición, quiero saber por qué esa definición es la única forma posible de hablar del definiendum. Y si no lo es, quiero ser consciente de la totalidad de esas formas: ¿tiene esa totalidad una estructura? ¿La presencia/ausencia de la misma tiene un significado? ¿Existe una totalidad de totalidades, y cómo se comporta? Cuando me acerqué por primera vez a la HTT pensé que responder a estas mismas preguntas era su principal tarea. Puedes ver lo profundamente decepcionado que estoy. Y pueden ver el origen de mi sentimiento de derrota: me siento estúpido, mucho más limitado, distraído del aprendizaje de los tecnicismos, mucho más que las personas que no abordan esta búsqueda de un sentido absoluto. Más jóvenes que yo, muchos colegas comenzaron a estudiar HTT, alcanzando rápidamente un cierto dominio de las palabras básicas y, posteriormente, comenzaron produciendo matemáticas fuera de este comando. Para ellos, la teoría de categorías es una matemática más, que no se diferencia de otra (tal vez más bonita); haces tus ejercicios, aprendes a demostrar teoremas, y ya está. Para mí, la teoría de categorías es la única forma satisfactoria de pensar. ¿Estoy agobiado por esta creencia hasta el punto de que me impide ser un buen matemático?

4. Las cuestiones que he planteado en el punto 3 no pertenecen a las matemáticas; debería hacer otra cosa. De hecho, la única razón por la que traté de convertirme en matemático fue porque sentí que las matemáticas son el único significado correcto de la palabra "filosofía", y la única forma correcta de seguirla. Pero pasarse a la filosofía sería, si cabe, una elección aún más desafortunada: los filósofos suelen ser personas tontas e ignorantes que pretenden ser capaces de explicar la ética (=una tarea complicada y esquiva) ignorando el álgebra lineal (=algo que debe ser el núcleo común de conocimientos de toda persona culta).

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Una de las respuestas más abajo me aconseja "dar otra oportunidad a HTT".

Esto es qué hacer. No tengo ni idea de cómo y es por esto que estoy buscando ayuda matemática. No encuentro la manera de salir de este callejón sin salida: hacer matemáticas nuevas y sin pulir es un acontecimiento social, pero he vivido los años de mi doctorado aislado y sin una guía precisa aparte de mí mismo.

Answer 1

La teoría de las categorías superiores es, a grandes rasgos, el lugar donde la teoría de las categorías se encuentra con la matemática coherente de la homotopía. Por tanto, es relevante para aquellos problemas en los que las estructuras categóricas y los fenómenos de homotopía coherente desempeñan un papel importante. Muchas áreas de la topología algebraica y la geometría algebraica tienen esta propiedad. También hay muchas áreas de este tipo que no la tienen. Por lo que he entendido de tu pregunta, te gusta la teoría de categorías, pero no tanto la matemática coherente de homotopía. Hasta aquí yo diría que en realidad no tienes ningún problema, ya que la teoría de categorías ordinaria en sí misma no es, al menos en mi opinión, un dominio en el que la matemática coherente con la homotopía sea crucialmente necesaria. Esto se debe principalmente a que las cuestiones de coherencia que surgen en la teoría de categorías son muy poco dimensionales, hasta el punto de que es más rentable hacerlas a mano (o simplemente despreciarlas), que utilizar una maquinaria sofisticada. Esto me lleva a la primera solución posible para su problema:

Haz teoría de categorías.

La verdad es que no tengo la impresión de que este campo esté ni mucho menos acabado. Esto es especialmente cierto si se considera la teoría de 2 categorías como una extensión aceptable (aquí la coherencia es, de nuevo, lo suficientemente sencilla como para hacerla a mano). También tiene muchas interacciones con dominios como la lógica, la teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas. Encontrará muchas discusiones interesantes sobre todos estos temas, así como enlaces a las investigaciones más avanzadas, en el n-café de categoría . Tampoco me extrañará que encuentres allí gente que comparta tus gustos matemáticos.

Si todavía mantienes, por la razón que sea, que es imprescindible que hagas cosas relacionadas con la teoría de categorías superiores, puedo decirte que hay muchos dominios en este tema que tienen un sabor muy 1-categórico. Por ejemplo, puedes

Hacer la teoría de la categoría del modelo.

Esta noción, una de las muchas ideas brillantes de Quillen, permite reducir mágicamente las cuestiones de coherencia homotópica a un marco 1-categórico. Las categorías modelo también comparten muchas de las características estéticas de la teoría de categorías ordinaria, en el sentido de que todo parece encajar muy bien, sin dejar de ser extremadamente útiles para las matemáticas coherentes con la homotopía del mundo real. Un poco menos conocidas, pero también de sabor muy categórico, son derivadores . También puede buscar categorías trianguladas.

Por último, como sugieren muchos de los comentarios anteriores, es posible que las cosas que no te gustan de la matemática coherente de la homotopía no sean en realidad propiedades esenciales del campo, sino más bien de su corta edad. Por lo tanto, puede considerar

Dale otra oportunidad a HTT.

Al hacerlo, puede tener en cuenta lo siguiente: Creo firmemente que nadie ha escrito nunca una demostración técnica combinatoria simplex por simplex de un resultado de tipo HTT sin saber de antemano que lo que quiere demostrar es cierto, y además por qué es cierto. Esto se debe a que, a pesar del tecnicismo de algunas pruebas, las categorías superiores hacer comportarse de acuerdo con los principios fundamentales. A veces estos principios son los mismos que en el caso de la categoría 1, pero a veces son diferentes. En consecuencia, puede llevar un poco de tiempo adquirir una intuición orientadora sobre lo que debe ser cierto y cuándo. No obstante, es ciertamente factible. Sugeriría entonces que, antes de leer una prueba dada, se intente pensar primero por qué el resultado anunciado debería ser verdadero. Además, piense cómo demostraría, digamos, el caso de 1 categoría, y luego intente extender la demostración a categorías superiores dimensión por dimensión, y vea a dónde le lleva esto. A continuación, lea el argumento del simplex por el simplex. De repente puede parecer muy claro.

Answer 2

Llego un poco tarde a esta fiesta, pero pondré mis dos centavos de todos modos porque son bastante diferentes de todo lo que he escuchado hasta ahora. En pocas palabras, mi respuesta es:

1. Sí, estoy de acuerdo en que esto es un problema (aunque creo que habrías hecho mejor en publicar sólo la pregunta y no el desvarío), y

2. Lo que puedes hacer es ser parte de la solución .

Durante mucho tiempo yo también me resistí a la "teoría de la categoría superior homotópica", por razones que creo que no son ajenas a las tuyas. Incluso escribí un entrada de blog algo quejumbrosa sobre ello. Lo que finalmente me hizo "subir a bordo" no fueron las aplicaciones a la geometría algebraica o lo que sea (lo que no significa, por supuesto, denigrar esas aplicaciones), sino la verdadera teoría de las categorías conceptual las percepciones que surgen de lo que usted llama HTT. Los ejemplos incluyen:

• Colímetros en una categoría de 1 no puede ser tan buenos como quisiéramos, y la razón es que una categoría 1 no tiene suficiente "espacio"; un $(\infty,1)$ -categoría arregla esto. Por ejemplo, los axiomas de Giraud para un 1-topos afirman la "descendencia" sólo para coproductos y cocientes de relaciones de equivalencia; los axiomas análogos para un $(\infty,1)$ -topos afirman el descenso para todo colímetros.

• Pasando "todo el camino a $\infty$ " tiene un efecto "estabilizador" que permite $(\infty,1)$ -categorías y $(\infty,1)$ -para "describirse a sí misma" en formas que la teoría de 1 categoría sólo puede aproximar. Por ejemplo, la 1-categoría de 1-categorías no incluye suficiente información para caracterizar la noción "correcta" de "igualdad" para las 1-categorías, a saber, la equivalencia (al menos, no a menos que se piratee con algo como una estructura de modelo de Quillen); para eso se necesita la 2-categoría de 1-categorías, o al menos la $(2,1)$ -categoría de 1-categorías. Pero la $(\infty,1)$ -categoría de $(\infty,1)$ -Las categorías de la naturaleza las caracterizan hasta la noción correcta de equivalencia. (Aunque para muchos propósitos todavía se necesita la $(\infty,2)$ -categoría de $(\infty,1)$ -de la categoría, apuntando a un territorio aún muy inexplorado como es el de la $(\infty,\infty)$ -categorías). Del mismo modo, un 1-topos sólo puede tener un subobjeto clasificador, clasificando aquellos objetos que son "internamente $(-1)$ -categorías", es decir, valores de verdad; pero un $(\infty,1)$ -topos puede tener un objeto clasificador que clasifica todo objetos (hasta las limitaciones de tamaño).

• Varios fenómenos misteriosos de la teoría de los 1-topos se explican como sombras de $(\infty,1)$ -fenómenos topo-teóricos. Por ejemplo, la analogía entre los morfismos geométricos abiertos y los localmente conexos se explica viéndolos como los pasos $k=-1$ y $k=0$ de una escalera de local $k$ -conectado $(\infty,1)$ -geométricos, y de forma similar para los morfismos geométricos propios y ordenados. Por otra parte, varios aparentemente ad hoc Las nociones de la "teoría homotópica de las topos", como la cohomología, los grupos fundamentales, la teoría de la forma, etc., se explican como manifestaciones de la $(\infty,1)$ -forma topos-teórica, que se caracteriza por una propiedad universal simple .

• Tal vez lo más importante sea la idea fundamental de que los objetos básicos de las matemáticas no son sólo conjuntos, sino $\infty$ -groupoides . Así, por ejemplo, la noción realmente buena de "anillo" debería ser una $\infty$ -groupoide con una estructura coherente de multiplicación y adición (es decir, un espectro de anillos), incluyendo la noción de "anillo" basada en conjuntos como un simple caso especial. Y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que ninguno de estos ideas depende de cualquier modelo concreto para $(\infty,1)$ -y la mayoría de ellas no tienen nada que ver con la teoría de la homotopía; son ideas puramente categoriales. Así que creo que incluso un teórico de la categoría que no se preocupe por la teoría de la homotopía debería estar interesado en un tipo de "teoría de la categoría" en la que éstas sean verdaderas.

Dicho esto, creo que un buen teórico de la categoría debe se preocupan al menos por la teoría de la homotopía, si no es por otra razón, por la misma razón que un buen teórico de la categoría debe preocuparse por otras aplicaciones de la teoría de la categoría. Como todos los campos de las matemáticas, la teoría de las categorías se ve apoyada y vigorizada por sus conexiones con otros campos de las matemáticas, y el estrecho vínculo entre la teoría de las categorías superiores y la teoría de la homotopía tiene un gran potencial para estimular ambos temas. El hecho de que este potencial se haya realizado más plenamente en el lado de la teoría de la homotopía es, en mi opinión, en gran medida un accidente de la historia y de la personalidad.

¿Por qué es $(\infty,1)$ -¿la teoría de las categorías no suele hacerse al "estilo australiano"? Creo que es sólo porque la gente que hace $(\infty,1)$ -la teoría de las categorías no conozca o al menos no aprecian la teoría de 1 y 2 categorías al estilo australiano, mientras que muchos teóricos de las categorías al estilo australiano no conocen ni aprecian $(\infty,1)$ -teoría de las categorías. Esto crea una tremenda oportunidad para cualquiera que esté dispuesto a hacer el esfuerzo de ser un puente, enseñando a los teóricos de la categoría cómo pensar en $(\infty,1)$ -categorías "teóricamente" y la enseñanza $(\infty,1)$ -los teóricos de la categoría los beneficios de "pensar realmente como un teórico de la categoría".

Una forma de ser ese puente es aprender la tecnología simplificada que se utiliza actualmente para $(\infty,1)$ -teoría de las categorías y "hacerlas al estilo australiano". Por ejemplo, hasta donde yo sé, todavía no hay $(\infty,2)$ -de la teoría de las mónadas con la potencia y flexibilidad de la teoría de las 2 mónadas; alguien debería hacerlo. Enriquecido $(\infty,1)$ -Categorías sólo están empezando a ser investigadas. La página web $(\infty,2)$ -categoría de $(\infty,1)$ -se ha utilizado para algunas aplicaciones, pero su potencial teórico de la categoría está en gran parte inexplorado. Que yo sepa, nadie ha definido siquiera $\infty$ -dobles categorías todavía. ( Editar: Se han definido, pero aparentemente no se han estudiado de forma sistemática; ver comentarios). ¿Qué pasa con la generalización de $\infty$ -¿multicategorías? etc. etc.

Aunque es un esfuerzo digno, sospecho que esto no es lo que quieres hacer. En particular, parece que no te sientes capaz de dedicar tiempo a entender realmente la tecnología simplificada. Puedo simpatizar con eso; es bastante difícil para mí, y ya estuve expuesto a muchas cosas simpliciales como estudiante de posgrado, ya que mi asesor era un topólogo algebraico. Así que generalmente evito utilizar la tecnología simplicial en la medida de lo posible. Una forma de hacerlo, que yo mismo he perseguido, es estudiar $(\infty,1)$ -categorías utilizando maquinaria de 1 y 2 categorías incluyendo las categorías del modelo de Quillen (que, por cierto, tienen un versión algebraica que es bastante más agradable para el corazón de un teórico de la categoría) pero también estructuras de nivel homotópico como derivadores , categorías de 2 homotopías y equipos de proarración de homotopía .

Esto funciona bastante bien para muchas cosas sorprendentemente, y no requiere que aprendas ninguna tecnología simplificada. Sin embargo, a menudo depende del hecho de que alguien ha probado algo utilizando tecnología simplicial para "meterse en el mundo" en el que estás trabajando. Además, también ha expresado cierto escepticismo sobre la propia idea de tecnología simplificada y modelos concretos. Creo que sería bueno que se superara esto hasta cierto punto -las matemáticas tienen que avanzar con lo que tenemos, aunque no sea perfecto, y más adelante alguien puede mejorarlo-, pero también simpatizo con ello, debido, por ejemplo, a la última idea conceptual que mencioné antes:

• Los objetos básicos de las matemáticas no son sólo conjuntos, sino $\infty$ -groupoides.

¿Cómo puede ser esto, si un $\infty$ -groupoide es definidos en términos de conjuntos (por ejemplo, como un complejo Kan)?

Bueno... ahora hay una forma de estudiar $\infty$ -groupoides directamente, sin definirlos en términos de conjuntos: se llama teoría de tipos de homotopía (HoTT). La HoTT es (entre otras cosas) una teoría fundacional, más o menos al mismo nivel ontológico que la ZFC, cuyos objetos básicos pueden ser considerados como $\infty$ -groupoides; escribí un introducción filosófica desde esta perspectiva. (También se está trabajando en un teoría análoga cuyos objetos básicos son $(\infty,1)$ - categorías .) Así, la HoTT ofrece la promesa de un enfoque de la teoría de la homotopía y de la teoría de las categorías superiores que está casi completamente libre de la tecnología simplicial, e incorpora las ideas conceptuales de $(\infty,1)$ -Teoría de las categorías "desde el principio", lo que nos permite intuir y trabajar directamente con estructuras de categoría superior y de homotecia superior sin tener que construirlos explícitamente a partir de conjuntos. Cuando leo o escribo una prueba en $(\infty,1)$ -lenguaje topos-teórico, nunca estoy muy seguro de haber puesto los suficientes puntos sobre las íes para que toda la coherencia salga bien; pero cuando en cambio lo escribo en HoTT sí lo estoy, no sólo porque con HoTT entiendo la razón profunda por la que ya sabes lo que son las cosas íntimamente (como tú dices), sino porque una prueba HoTT puede ser formalizada y verificada con un asistente de pruebas informático. Ya hay algunos estudiantes de posgrado que han "crecido" con HoTT y pueden "pensar en ella" de manera que superan a los que "llegamos tarde".

Ahora bien, esta "promesa" de la HoTT aún no se ha cumplido del todo. Muchas estructuras coherentes de categoría superior pueden representarse de forma sencilla y conceptual en HoTT; pero muchas otras no sabemos aún cómo tratarlas. Así que aquí está otra manera de ser parte de la solución: mejorar la capacidad de HoTT para representar la teoría de categorías superiores, de modo que eventualmente se convierte en lo suficientemente potente como para que incluso los "aplicados" $(\infty,1)$ -Los teóricos de las categorías pueden prescindir de los símiles. Esto es, en gran parte, en lo que yo mismo estoy trabajando ahora.

Answer 3

Esto es demasiado largo para un comentario, pero no responde exactamente a la pregunta. Sin embargo, he bebido suficiente ponche de huevo estas Navidades como para publicarlo de todos modos (a pesar de no saber casi nada sobre teoría de categorías).

Leyendo la pregunta y hojeando los comentarios, veo muchas descripciones románticas de la práctica de las matemáticas que guardan poca relación con la forma en que se practican realmente. Es realmente maravilloso cuando una sola idea elegante puede iluminar completamente y hacer transparente alguna parte del tema. Sin embargo, estas ideas suelen ser el producto final de un largo desarrollo que comienza con un complicado lío de argumentos. Y las descubren personas que están profundamente inmersas en el tema.

Por decirlo de otro modo, aunque es estupendo tener una sólida visión filosófica de lo que son las matemáticas y de cómo deberían practicarse, si esa filosofía no se basa en la práctica real de las matemáticas, es poco probable que lleve a ninguna parte. La claridad filosófica llega al final y no al principio.

Para tener éxito en la investigación, hay que estar dispuesto a ensuciarse las manos. Si no te gusta el oficio ordinario de hacer matemáticas, es poco probable que seas feliz como matemático investigador. Pero es un oficio. No estoy en absoluto de acuerdo con los comentarios que hacen parecer que hay que ser una especie de héroe romántico loco que corre riesgos sobrehumanos o algo así. Desde luego, yo no soy así, pero he podido hacer carrera con esto.

Ahora bien, es imposible que le demos consejos personales sobre lo que debe hacer con su vida o qué dirección debe tomar su investigación. No te conocemos. Pero puedo decir que todo el mundo pasa por períodos de duda y frustración. Lo que siempre hago en esas situaciones es tomarme un breve descanso de la primera línea de investigación y volver a las fuentes que me atrajeron a las matemáticas en primer lugar. Leer algunas grandes matemáticas, refrescarme y luego volver a ellas.

Answer 4

Las cuestiones de estética son, por supuesto, intrínsecamente subjetivas. En tu tercer punto pareces expresar una fuerte preferencia estética por las matemáticas que parten de un pequeño conjunto de axiomas y construyen una teoría grande y unificada, construida con la máxima generalidad. Se me ocurren otras áreas de las matemáticas, además de la teoría de categorías al estilo australiano, que se ajustan a esta descripción, como el álgebra universal, la topología de conjuntos de puntos, la teoría de grupos finitos y varias áreas de la teoría de conjuntos y la lógica. Creo que un joven matemático de cualquiera de esas áreas podría haber publicado una queja similar lamentando el alejamiento general del tipo de matemáticas que les interesa.

Por el contrario, permítanme que intente articular cómo percibo la preferencia estética dominante en la comunidad matemática, sin que yo necesariamente la apoye. Uno imagina que hay un "núcleo" de las matemáticas, que consiste quizás en la geometría, la aritmética y el análisis. Las cuestiones de estas áreas son intrínsecamente interesantes y merecen ser estudiadas. Otras partes de las matemáticas sólo merecen ser estudiadas en la medida en que puedan aplicarse a esas áreas centrales. Desde esta perspectiva, la HTT es "superior" a la teoría de categorías de estilo australiano sólo porque ha sido más útil en la geometría algebraica, la teoría K y la topología, todas ellas cercanas a ese "núcleo".

Una opinión más contundente es que se trata de la evolución memética en acción. En un modelo de juguete, todos los matemáticos empiezan interesándose sólo por el problema específico que les asigna su asesor. A lo largo de su carrera se interesarán por más cosas, determinadas por el azar, las preferencias personales, pero sobre todo el interés propio: "oh, parece que puedo demostrar algo sobre X (que me interesa) si aprendo un poco de Y (del que sólo he oído hablar)"... Con razón o sin ella, este proceso "premiará" las áreas exclusivamente en función de su utilidad para otras áreas, y "castigará" las que no lo sean.

¿Qué puede hacer si trabaja en un área que está fuera de moda? Por supuesto, puedes dar a conocer tu trabajo y tu punto de vista, pero no puedes obligar a la gente a interesarse por los teoremas que demuestras. Así que tienes dos opciones extremas: (a) Seguir trabajando en lo que te interesa, sin importar lo que piensen los demás. Esto no es fácil, pero se puede hacer. Sólo tendrás menos oportunidades de trabajo, menos opciones de financiación, etc. O bien: (b) Cambia de campo. Tampoco es fácil, pero también se puede hacer. Por supuesto, es más fácil si conoces a alguien con quien puedes colaborar y aprender de él, y si puedes cambiar a algo razonablemente cercano a tus propios intereses. La mayoría de la gente quizá haga algo intermedio: tratar de orientar sus propios intereses en la dirección de cosas que puedan aplicarse a lo que otras personas están trabajando. Buena suerte.

Answer 5

Creo que la respuesta es obvia. Si quieres seguir en las matemáticas, deja el HTT y vuelve a los fundamentos de lo que te interesó en las matemáticas en primer lugar. Es fácil que los jóvenes se dejen seducir por áreas muy abstractas sólo porque hay una comunidad de matemáticos veteranos a su alrededor haciéndolo, y lo he visto muchas veces.

Tu suposición de que no tienes suficiente tiempo para aprender algo nuevo es incorrecta. No se necesita mucho tiempo para aprender algo diferente e incluso publicar en ese campo si se tiene ganas. Haz otro postdoctorado y tómate tiempo para explorar tus propios intereses, publicar y encontrar una nueva comunidad.