¿Existe una teoría combinada de los Reales y los Naturales que tenga un modelo donde los Naturales y los Reales tengan la misma cardinalidad

Question

La teoría de Lowenheim-Skolem ascendente decreta que debe existir un modelo (no estándar) de los naturales de cardinalidad igual a la del modelo estándar de los Reales.

Para cualquier teoría combinada de los Reales y los Naturales, una prueba similar a la de Lowenheim-Skolem ascendente significa que debe haber un modelo con cualquier cardinalidad infinita de Naturales. Pero, ¿existe un modelo en el que tanto los Reales como los Naturales tengan la misma cardinalidad?

Equivalentemente, ¿es el enunciado "Hay una biyección entre los reales y los naturales" satisfacible en alguna teoría combinada de naturales y reales donde los axiomas estándar de Peano y los axiomas de los reales se mantienen / pueden ser codificados.

O, es $\forall r, \exists i, \textrm{isInteger}(i) \land f(i) = r$ de primer orden demostrable en algún esquema axiomático mínimo que pueda demostrar todo lo que los axiomas de Peano y los axiomas reales pueden demostrar?

Answer 1

Si tomas los axiomas de campo cerrado real RCF como tu teoría de los reales, entonces es fácil conseguir lo que quieres, ya que los reales computables satisfacen RCF, y los reales computables son definitivamente contables. Si se añade un axioma Sup de que toda secuencia definible superior de reales (sobre su teoría) tiene un supremum, entonces la nueva teoría RCF+Sup ya no es satisfecha por los reales computables, sino que es satisfecha por la colección de reales que pueden ser computados por algún salto de Turing finito, que sigue siendo contable.