¿Por qué son importantes las redes modulares?

Question

A celosía $(L,\leq)$ se dice que es modular cuando $$ (\forall x,a,b\in L)\quad x \leq b \implies x \vee (a \wedge b) = (x \vee a) \wedge b, $$ donde $\vee$ es la operación de unión, y $\wedge$ es la operación de encuentro. ( Únase y conozca .)

Los ideales de un anillo forman una red modular. Lo mismo ocurre con los submódulos de un módulo. Estos hechos son fáciles de demostrar, pero nunca he visto ningún ejemplo llamativo de su utilidad. De hecho, en un seminario en el que participé, el ponente dijo que la condición de modularidad no era muy natural y que se estaban buscando otras mejores (esto fue en el contexto de la dimensión de Gabriel y su generalización a los entramados -- desafortunadamente, no entendí mucho de eso).

Me gustaría ver alguna motivación para esta noción. Es decir, me gustaría saber cuándo es útil y si es natural. De momento, no me parece más natural que cualquier condición aleatoria en el lenguaje de los entramados. Si pudieras arrojar algo de luz sobre la opinión que cito en el párrafo anterior, también sería muy útil. Me interesaría especialmente la motivación algebraica, ya que sé muy poco sobre otras áreas si las matemáticas.

Answer 1

La definición de modularidad me parece más natural si pienso en ella como sigue (en lugar de como una asociatividad modificada o una distributividad debilitada). Dado cualquier elemento $a$ de un entramado $L$ hay una forma bastante obvia de asignar cualquier elemento $x\in L$ a un elemento "más cercano" $\geq a$ , es decir, enviar $x$ a $a\lor x$ . Piensa que este mapa "proyecta" elementos en la parte de $L$ por encima de $a$ . Existe, por supuesto, una doble noción de proyección de elementos en la parte de $L$ por debajo de un elemento determinado $b$ , a saber $x\mapsto b\land x$ . Si $a\leq b$ Entonces podemos combinar estas ideas para "proyectar" cualquier $x$ en el intervalo $[a,b]=\{z\in L:a\leq z\leq b\}$ , es decir, el primer proyecto $x$ por encima de $a$ y luego proyectar el resultado a continuación $b$ . (Hay que comprobar que la segunda proyección no arruina lo que la primera consiguió; el resultado final sigue estando por encima de $a$ así como a continuación $b$ .) De nuevo, la dualidad proporciona otra forma de proyectar $x$ en $[a,b]$ , a saber, primero proyectarlo a continuación $b$ y luego proyectar el resultado anterior $a$ . Así que, en general, tenemos dos nociones de proyección de un elemento que compiten y son igualmente naturales $x$ en un intervalo $[a,b]$ . La modularidad elimina la competencia; dice precisamente que estas dos proyecciones siempre coinciden.

Answer 2

Como referencia:

Modularidad: $x\leq b \implies x\vee(a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b$

Algebraicamente es una condición de distributividad relajada para las operaciones de encuentro y unión. Gráficamente, significa que la operación prohibida Diagrama del pentágono tendrá uno o más de sus lados aplastados. No se me ocurre ninguna otra prueba de su naturalidad, aparte del hecho de que los submódulos de un módulo y el conjunto de subgrupos normales de un grupo son todos retículos modulares. Los grupos y los módulos son muy naturales.

Del mismo modo, su primo el retículo distributivo es la distributividad algebraica de meet y join entre sí. Los módulos no suelen tener un entramado distributivo de submódulos.

Los retículos distributivos son naturales porque su prototipo es el retículo de subconjuntos de un conjunto dado con operaciones de intersección y unión. Se sabe que todo entramado distributivo es isomorfo a dicho entramado de conjuntos.

P.D.: No sabía esto antes, pero encontré que von Neumann aparentemente hizo uso de retículos modulares complementados en su libro Geometría continua Así que yo también buscaría allí la inspiración.

Añadido: Solicitaste algunos lugares en los que se utilizó explícitamente la modularidad. Cuando Ward y Dilworth se dedicaron a abstraer el estudio de los ideales en un anillo a los "entramados multiplicativos", consiguieron hacer una descomposición primaria en lo que llamaron Retículas de Noether . Por supuesto, se suponía que estos debían generalizar el entramado de ideales de un anillo noetheriano, y los entramados multiplicativos generales son demasiado salvajes, por lo que necesitaban establecer algunos requisitos naturales adicionales para el entramado multiplicativo. Entre estos requisitos estaban el ACC (para hacerlo noetheriano), la propiedad de que cada elemento debe ser una unión de elementos principales, y finalmente modularidad de la red. No soy un experto en el tema pero creo que la modularidad fue probablemente crucial en sus pruebas usando residuos .

Answer 3

Me gustaría completar la respuesta de Andreas con la siguiente consecuencia de la propiedad de modularidad:

Existe un isomorfismo natural entre $[a,a\vee b]$ y $[a\wedge b,b]$ . En teoría de grupos o módulos, se trata del isomorfismo natural $(A+B)/A=B/(A\cap B)$ . Cualquier argumento que utilice este (¿2º? ¿3º? ¿1º?) teorema de isomorfismo se aplica también al entramado de submódulos, subgrupos normales, etc., y más generalmente a cualquier entramado modular.

Answer 4

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert, escriba $L(H)$ para el poset de cerrado subespacios de $H$ . Tenga en cuenta que $L(H)$ es un entramado: el encuentro es la intesección de subespacios, la unión es el cierre de la suma de subespacios.

Entonces $H$ es de dimensión finita si y sólo si $L(H)$ es modular.