Como se ha discutido en muchas preguntas por aquí (por ejemplo aquí ), la relatividad sólo nos habla de las propiedades locales y del comportamiento de un espacio-tiempo. Hay algunas excepciones cuando hacemos suposiciones globales - si tenemos un espacio de globalmente y estrictamente curvatura positiva constante, la topología no trivial es inminente porque el espacio tiene que ser la 3-esfera $\mathbb{S^3}$ .
Pero también podemos añadir topología no trivial sin muchas restricciones. Toda la riqueza puede ser explorada, por ejemplo, a través del cociente de las rebanadas de espacio "canónico" $\mathbb{E^3},\mathbb{S^3},\mathbb{H}^3$ (plano euclidiano, 3-esfera, 3-hiperbólico) por un grupo de simetría discreto $\Gamma$ . Es decir, para $\Gamma$ un grupo de traducciones discretas en todas las direcciones "cortando" $\mathbb{E}^3$ obtenemos un 3-toro topológico $\mathbb{E^3}/\Gamma = \mathbb{T^3}$ .
La imagen intuitiva es que el espacio se ve localmente exactamente como nuestro viejo espacio plano euclidiano $\mathbb{E^3}$ Pero después de una cierta distancia (la traducción), llegamos al mismo lugar. Naturalmente, como se trata del mismo lugar, deberíamos encontrar el mismo cosas en estos lugares hasta su movimiento y evolución durante el tiempo que no estuvimos allí.
En cuanto a la observación cosmológica, si queremos detectar una topología no trivial con los métodos actuales, el espacio o las no trivialidades deben ser "suficientemente pequeñas". Imaginemos que estamos en una esfera y que la observación nos limita a ver una parte muy pequeña de ella: no habrá forma de concluir que es una esfera.
Sin embargo, si vemos más allá de, por ejemplo, una de las traducciones discretas de $\Gamma$ En principio, deberíamos ser capaces de detectar varias imágenes del mismo objeto. El problema es que, como la luz tardó más en viajar desde la imagen más lejana, veremos el objeto más lejano más "joven" que el más cercano y, muy probablemente, bajo un ángulo diferente. Para un universo decentemente grande con otros efectos como el corrimiento al rojo y el oscurecimiento, esto es probablemente un obstáculo.
Sin embargo, la resistencia de los científicos es infinita. Podemos detectar una repetición en las imágenes al recopilar grandes cantidades de datos de todos los objetos visibles y utilizar ciertos métodos de correlación para evaluarlos. Ciertos tipos de no trivialidad topológica serían entonces visibles como picos o "espigas" en los indicadores de correlación.
La imagen más profunda del universo es el CMB, del que tenemos un conjunto de datos muy detallado. El CMB puede verse como una instantánea de una gran esfera a una distancia luminosa $\chi_{CMB}$ . Si esta esfera se cruza con una no trivialidad topológica, deberíamos ver "círculos" o ciertas repeticiones de patrones en el CMB. Sin embargo, las pocas pruebas de los datos no han revelado nada de esto. Si acaso, una $\mathbb{R^2}\times \mathbb{S^1}$ (un "3 tubos") se conjetura en asociación con la dirección ligeramente preferida del CMB.
Hay posibles pruebas indirectas sugeridas por la discusión de ACuriousMind - una topología no trivial impone diferentes condiciones de contorno a los campos fundamentales y otros objetos posibles. Nótese, sin embargo, que la teoría que desarrollamos significa "muy lejos" por $\infty$ . Es decir, por ejemplo, en los experimentos con partículas, "muy lejos" puede ser una distancia de pocos metros, no escalas cosmológicas. Los efectos debidos a las condiciones de contorno topológicamente diferentes jugarían probablemente un papel importante en el universo muy temprano y podrían proporcionar pruebas indirectas de la topología cósmica.
Mi principal fuente para esta respuesta son este y este artículo de revisión .
