Función indicadora de la probabilidad de la distribución uniforme

Question

Es bien sabido que la función de probabilidad para la distribución uniforme en $[0,\theta]$ viene dada por

$$\frac{1}{\theta^n} \mathbf{1}_{\max(x_1,\ldots,x_n)\leq \theta}$$

La razón de este indicador es que la probabilidad será igual a $0$ si una de nuestras observaciones $x_i$ supera $\theta$ . Pero, ¿por qué no imponemos una condición similar para que una observación sea menor que $0$ ? Es decir, incluyendo también $\mathbf{1}_{\min{(x_1,\ldots,x_n)\geq0}}$ ?

Si he entendido algo mal, no dude en corregirme.

Answer 1

No importa lo que $\theta$ es, sus observaciones reales $x_i$ será no negativo (bajo el supuesto de que proviene de una distribución uniforme en $[0, \theta]$ ). Así que, técnicamente, sí, se podría incluir un indicador para $x_i \ge 0$ pero esa desigualdad siempre se mantendrá.

Answer 2

La cuestión es que el familia de las distribuciones que está considerando tiene diferentes valores de $\theta$ para diferentes distribuciones dentro de la familia, pero el límite inferior del intervalo sigue siendo el mismo para todas ellas.

(La función de probabilidad es una función de $\theta$ con $x_1,\ldots,x_n$ arreglado, por lo que es $$ L(\theta) = \begin{cases} 1/\theta^n & \text{for } \theta\ge\text{something}, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} $$ Así, el m.l.e. de $\theta$ es el valor más bajo que $\theta$ puede alcanzar sin $L(\theta)$ ser $0.$ )