Recuerdo una de Dirac spinor que obedece el Lagrangiano de Dirac
$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_\mu -m)\psi.$$
La Dirac spinor es un componente de cuatro spinor, pero puede ser descompuesto en un par de dos componentes spinors, es decir, proponemos
$$\psi = \left( \begin{array}{c} u_+\\ u_-\end{array}\right),$$
y el Lagrangiano de Dirac se convierte,
$$\mathcal{L} = iu_{-}^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}u_{-} + iu_{+}^{\dagger}\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+} -m(u^{\dagger}_{+}u_{-} + u_{-}^{\dagger}u_{+})$$
donde $\sigma^{\mu} = (\mathbb{1},\sigma^{i})$ $\bar{\sigma}^{\mu} = (\mathbb{1},-\sigma^{i})$ donde $\sigma^{i}$ son las matrices de Pauli y $i=1,..,3.$ dos componentes spinors $u_{+}$ $u_{-}$ son llamados Weyl o quirales spinors. En el límite de $m\to 0$, un fermión puede ser descrito por una sola Weyl spinor, por ejemplo, la satisfacción de
$$i\bar{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}u_{+}=0.$$
Fermiones de Majorana son similares a los de Weyl fermiones; también tiene dos componentes. Pero se debe satisfacer una condición de la realidad y que debe ser invariante bajo el cargo de la conjugación. Al expandir un Majorana fermión, los coeficientes de Fourier (o a los operadores sobre la cuantización canónica) son reales. En otras palabras, un Majorana fermión $\psi_{M}$ puede ser escrito en términos de Weyl spinors como,
$$\psi_M = \left( \begin{array}{c} u_+\\ -i \sigma^2u^\ast_+\end{array}\right).$$
Majorana spinors se utilizan con frecuencia en teorías supersimétricas. En el Wess-Zumino modelo - el más simple SUSY modelo - un supermultiplet es construido a partir de un complejo de escalar, auxiliar de pseudo-escalar del campo, y Majorana spinor precisamente porque tiene dos grados de libertad, a diferencia de una Dirac spinor. La acción de la teoría es simplemente,
$$S \sim - \int d^4x \left( \frac{1}{2}\partial^\mu \phi^{\ast}\partial_\mu \phi + i \psi^{\dagger}\bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi + |F|^2 \right)$$
donde $F$ es el campo auxiliar, cuyas ecuaciones de movimiento conjunto de $F=0$, pero es necesario por motivos de consistencia debido a los grados de libertad off-shell y en la cáscara.
