Significado de la homología relativa

Question

Es un poco más fácil entender la homología $H_1(X, \mathbb Z)$ para diversas superficies compactas en analogía con las asas y demás. Parece que hay una imagen intuitiva agradable con asas, agujeros, etc para pensar en el primer grupo de homología, y heurística similar para los grupos de homología superior.

Pero casi todo el tratamiento axiomático de los grupos de homología utiliza en cambio la homología relativa. Pero no está tan claro intuitivamente cómo visualizar los grupos de homología relativa.

¿Cuáles son algunas muletas intuitivas para tratar estos grupos de homología relativa, en particular para las superficies?

Answer 1

Esta pregunta se hizo hace mucho tiempo. Pero puede seguir siendo relevante.

Intuitivamente, la homología relativa de $H(K, K_0)$ es la homología del espacio cuando identificamos todos los puntos que separan $K_0$ de $K$ para ser un único punto. Aquí $K_0$ es un subcomplejo de $K$ . Figura del capítulo de Homología Relativa del libro de Edelsbrunner- p.107

Por ejemplo, un familiar $1-$ ciclo puede ser el resultado de:

1. Todas sus aristas residen en el espacio $K-K_0$ . Este ciclo no se ve afectado por el cálculo de la homología relativa.
2. No era un ciclo en $K-K_0$ pero sus dos extremos están en $K_0$ .

Answer 2

Véase la página 115 de Hatcher: Elementos de $H_n(X,A)$ están representados por $n$ -cadenas $\alpha \in C_n(X)$ tal que $\partial \alpha \in C_{n-1}(A) \subset C_{n-1}(X)$ . Así que se puede pensar en un elemento de $H_n(X,A)$ como un $n$ -cosa en $X$ cuyo límite (un $(n-1)$ -cosa) se encuentra en $A$ .

Dado que los grupos de homología relativa encajan en la larga secuencia exacta $$\cdots \to H_n(A) \to H_n(X) \to H_n(X,A) \to H_{n-1}(A) \to \cdots,$$ se puede pensar en ellos como una medida bruta de, por ejemplo, la no subjetividad o la no inyectividad de los mapas $H_n(A) \to H_n(X)$ .

Answer 3

Una forma de pensar en esto es observar el nivel de la cadena. Recordemos que las cadenas singulares de un par $C_n(X, Y)$ se definen a veces como $C_n(X,Y) = C_n(X)/C_n(Y)$ . Así que una forma de pensar en esto es que estamos tomando el espacio $X$ y adjuntando un cono a $Y$ para que cualquier cadena que viva en $Y$ puede reducirse a un punto y olvidarse. La homología relativa se define entonces como los ciclos relativos módulo de los límites relativos, es decir, miramos los ciclos Y las cadenas que viven en $Y$ y nos modelamos no sólo por cosas que son límites, sino por cosas que son límites más tal vez una cadena en $Y$ .

Esta intuición funciona especialmente bien para las parejas bonitas $(X,Y)$ donde $H_n(X,Y) = H_n(X/Y)$ . En otras palabras, realmente nos estamos olvidando de todo lo que ocurre en $Y$ ya que lo estamos reduciendo a un punto.

En el libro de Hatcher se da un tratamiento maravilloso a todo esto: es muy bueno en cuanto a la intuición.

Answer 4

En primer lugar, permítanme decir por qué todos los tratamientos axiomáticos insisten en hablar de homología de pares. Uno de los axiomas (¿más importantes/útiles?) es el axioma de la secuencia exacta larga, para cualquier par $A$ contenida en $X$ obtenemos la larga secuencia exacta de grupos homológicos. Esto es crucial para hacer cálculos. El concepto de homología de un par se comporta sorprendentemente bien. Se comporta mucho mejor que el de un espacio cociente, para fines homotópicos. Así que la mejor formulación de los axiomas es en términos de pares, porque requieren las menores suposiciones sobre los tipos de cocientes que se permitirán.

Como alude Dylan, realmente queremos pensar en $(X,A)$ como la cofibra de la inclusión $A \to X$ . Esta construcción de la cofibra (cociente del cilindro cartográfico, o más bien del cono cartográfico) es una noción que se comporta mucho mejor. Su tipo de homotopía sólo depende del tipo de homotopía de la inclusión. Este no es el caso del cociente estándar, a menos que el subespacio sea "bonito". Sin embargo, en el caso de las superficies, probablemente todos los subespacios que se miran son agradables, por lo que creo que probablemente estaría bien si sólo se calcula $H_*(X,A)$ como $H_*(X/A)$ .