Ayuda para entender $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sum_{1 \leqslant j \lt k} {\frac{1}{k-j}}$

Question

He sacado este resumen del libro Matemáticas concretas que no entendí exactamente:

$$ \begin{align} Sn &= \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sum_{1 \leqslant j \lt k} {\frac{1}{k-j}} \\ &= \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sum_{1 \leqslant k-j \lt k} {\frac{1}{j}} \\ &= \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sum_{0 \lt j \leqslant k-1} {\frac{1}{j}} \\ \end{align} $$

No entendí por qué $1 \leqslant j \lt k$ se convirtió en $1 \leqslant k-j \lt k$ en la segunda línea y por qué $1 \leqslant k-j \lt k$ se convirtió en $0 \lt j \leqslant k-1$ en la tercera línea.

¿Pueden ayudarme a entenderlo?

Answer 1

$$S_n = \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{1}{k-j}$$

Dejemos que $k-j =\alpha$ . Límites de $\alpha$ será $1 \leq \alpha \leq k-1$ que es lo mismo que $1 \leq k-\alpha \leq k-1$ .

$$\implies S_n = \sum_{k=1}^{n}\sum_{k-\alpha=1}^{k-1}\dfrac{1}{\alpha} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=1}^{k-1}\dfrac{1}{\alpha}= \sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{k-1}\dfrac{1}{j}$$

Answer 2

Desde aquí

$$S_n = \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \sum_{1 \leqslant j \lt k} {\frac{1}{k-j}}=\ldots $$

desde $k-j$ va de $k-1$ hasta $1$ tenemos

$$\ldots=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \, \sum_{1 \leqslant k-j \lt k} {\frac{1}{k-j}} =\ldots$$

ahora cambiamos el nombre al índice usando $j$ en lugar de $k-j$

$$\ldots=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \,\sum_{1 \leqslant j\lt k} {\frac{1}{j}}=\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \,\sum_{0 \lt j\leqslant k-1} {\frac{1}{j}}$$