Iterada De Los Límites De La Esquizofrenia

Question

Considerar las funciones $g_n(x)$, con $n\in\mathbb{N}$, $n \ge 1$ y $x\in\mathbb{R}$, que se define de la siguiente manera: $$g_n(x) = \begin{cases} 2n^2x & \text{if }0 \le x < 1/(2n) \\ 2n - 2 n^2 x & \text{if } 1/(2n) \le x < 1/n \\ 0 & \text{everywhere else} \end{casos}$$ Estándar de la matemática argumento:
Estas funciones son triangulares, y todos ellos desaparecen fuera de $[0,1]$, por lo que puedo calcular $\int_0^1 g_n(x) \, dx = 1$ por cada $n$. Para cada $x$, $\lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x) = 0$.
Así que el límite y la integración no pueden ser intercambiados.

Aquí es una imagen animada de las funciones:

La función de $g_n(x)$ se convierte en un pico agudo en $x=0$ $n \rightarrow \infty$ y, geométricamente, es cierto que no desaparece o se convierte en cero. En su lugar, parece que tenemos, al final, lo que los físicos conocen como una función delta. De manera informal: $$\delta(x) = \begin{cases} 0 & \text{for } x \ne 0 \\ \infty & \text{for } x = 0 \end{casos} \qquad ; \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \, dx = 1$$ Cualquier definición que podría ser la "rigurosa", una función delta, a grandes rasgos, es tan sólo un gran pico cerca de $x = 0$ con el área normativa a $1$. Además, es típico que el siguiente función triangular así, es, de hecho, supone que converge a la función delta en vez de convertirse en cero para $n \rightarrow \infty$ y nadie tiene ninguna duda acerca de ello. $$D_n(x) = \begin{cases} n^2x + n & \text{if } -1/n \le x \le 0 \\ n - n^2x & \text{if } 0 \le x \le +1/n \\ 0 & \text{everywhere else} \end{casos}$$ La única cosa que distingue a $g_n(x)$ $D_n(x)$ es que el máximo de el primero es desplazado una distancia infinitesimal $\lim_{n \rightarrow \infty} 1/(2n)$ with respect to the maximum of the latter at $x=0$.
Así que es fácil ver que estas funciones se convierten en uno y el mismo para $n \rightarrow \infty$: $$\lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} D_n(x) = \delta(x)$$ Por lo tanto, en la final, tenemos dos argumentos que, por desgracia, también conducir a resultados distintos para el iterado límite.

• De acuerdo a la norma de las matemáticas, el iterado límites no conmutan: $$\int_0^1 \left[ \lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x) \right] \, dx = 0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \int_0^1 g_n(x) \, dx \right] = 1$$
• Según este físico, el afirmar los límites de conmutar: $$\int_0^1 \left[ \lim_{n \rightarrow \infty} g_n(x) \right] \, dx = 1 \qquad \text{y} \qquad \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \int_0^1 g_n(x) \, dx \right] = 1$$

Y la pregunta es, por supuesto, la siguiente. Es posible escapar de esta aparente paradoja? Entonces, ¿cómo?

Answer 1

Eso depende de a qué te refieres por $\lim_{n\to \infty} g_n(x)$. El pointwise límite es cero, de modo que la integral es cero. Y si pones el paréntesis así: $\lim_{n\to \infty} (g_n(x))$ entonces tenemos que concluir que el límite es cero y $$\int_0^1 \lim_{n\to \infty} (g_n(x))\,dx=\int_0^1 0\,dx=0$$

Sin embargo, también puede leer esto como $\lim_{n\to \infty} (g_n\, dx)$ donde $dx$ denota la costumbre medida de Lebesgue. Este es un límite de medidas y lo hace, de hecho, convergen en el punto de medida en $0$, por lo que $$\int_{[0,1]} \lim_{n\to \infty} (g_n\, dx)=\int_{[0,1]}d\delta_0=1$$ (He cambiado la notación debido a $\int_0^1$ puede ser confuso en este caso, como $\int_{(0,1)}d\delta_0=0$).

Así que la "paradoja" en realidad proviene de diferentes tipos de límites, y las derivadas de la confusión proviene de que no se explica el tipo de convergencia que se utiliza en cada caso.

Answer 2

La igualdad de $\lim_{n\to\infty}g_n(x)=\delta(x)$ es incorrecta. De hecho, $\lim_{n\to\infty}g_n(x)=0$ todos los $x$ (incluyendo $x=0$). Para $D_n$, $$\lim_{n\to\infty}D_n(x)=\begin{cases}0,&\ x\ne0,\\ \infty,&\ x=0\end{casos}$$ Así, decir que los dos límites son iguales, no tiene sentido.

Los físicos pueden "salirse con la suya", porque formalmente en el tratamiento de $\delta$ como una función, aunque no lo es. Esto es bien entendido por los matemáticos. Uno de los usos de las funciones $g_n$, $D_n$ para definir funcionales lineales sobre el espacio de funciones continuas. Dada una función continua $f$, se define el $$\varphi_n:f\mapsto\int_0^1f(t)g_n(t)dt.$$ Uno puede comprobar que $\lim_{n\to\infty}\varphi_n(f)=f(0)$. Así que los funcionales $\varphi_n$ convergen pointwise a la funcional $\delta:f\mapsto f(0)$. Los físicos amor de una intuitiva visión de las cosas, así que afirman que esta nueva funcionalidad también debe ser la integración en contra de una función que se llame a $\delta(x)$, la función de Dirac. Así, para ellos, $$\etiqueta{1} \delta(f)=\int_0^1f(t)\delta(t)dt.$$ Esta última igualdad no tiene sentido matemáticamente. Lo que pasa es que uno quiere pensar de $\delta(t)dt$ como una medida, y la integración de $f$ en contra. Y esto se puede hacer: $$\etiqueta{2} \delta(f)=\int_{[0,1]}f(t)d\delta(t),$$ donde ahora se considera la medida de $\delta$ dada por $$\delta(S)=\begin{cases}1,&\ 0\in S,\\ 0,&\ 0\not\in S\end{casos}$$ Lo que sucede entonces es que los físicos utilizan $(1)$, mientras que debería ser el uso de $(2)$. Pero el uso de $(1)$ en un camino que sólo se convierte en notación para $(2)$ cual es el correcto matemáticamente.

Answer 3

Hay una diferencia entre el$\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)$$\lim\limits_{n\to\infty}g_n$. Desde $x$ es especificado, $\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)$ significa que la pointwise límite de $g_n$; es decir, el límite de $g_n$ bajo la topología de pointwise convergencia, también conocido como el producto de la topología. Con $\lim\limits_{n\to\infty}g_n$, la topología en virtud de la cual el límite se toma no es clara, pero si se toma en el sentido de las distribuciones, que está bajo la débil-* topología en $C_c^\infty$, el límite sería la distribución delta de Dirac.

Si en lugar de $$\int_0^1\left[\lim_{n\to\infty}g_n(x)\right]\,\mathrm{d}x = 1\etiqueta{1}$$ lo cual es falso, el físico dijo o quiso decir, $$\int_0^1\left[\lim_{n\to\infty}g_n\right](x)\,\mathrm{d}x = 1\etiqueta{2}$$ a continuación, el límite podría ser tomado en el sentido de las distribuciones, en virtud de la cual $(2)$ sería correcto.

Answer 4

Las matemáticas no decir que los límites nunca conmutar en su caso, sólo que ellos no lo hacen necesariamente. Se da la circunstancia de que el límite de su $g_n$s'es una distribución, el $\delta$-distribución, que correspons a la medida de dirac, pero no necesariamente tiene que haber sido este agradable. Al menos esta es mi comprensión de la materia.