Aquí hay un ejercicio, en el análisis que estoy atascado.
- ¿Cómo puedo demostrar que si $F_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\sin{kx}}{k}$ , entonces la secuencia $\{F_{n}(x)\}$ es limitadamente convergente en $\mathbb{R}$ ?
Respuestas
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En primer lugar, observemos que para $x\in(0,2\pi)$ $$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sin kx}{k}=\int_{0}^{x}\sum\limits_{k=1}^{n}\cos kt\ dt= -\frac{x}{2}+\int_{0}^{x}\frac{\sin \frac{(2n+1)t}{2}}{2\sin{\frac{t}{2}}}\ dt$$ $$=-\frac{x}{2}+\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{2\sin{\frac{t}{2}}}-\frac{1}{t}\right)\sin \frac{(2n+1)t}{2}\ dt +\int_{0}^{x}\frac{\sin \frac{(2n+1)t}{2}}{t}dt.$$ Ahora, la primera integral del lado derecho tiende a cero por el lema de Riemann-Lebesgue. La segunda es igual a (mediante una sustitución $s=(2n+1)t/2$ ) la integral $$\int_{0}^{\frac{(2n+1)x}{2}}\frac{\sin s}{s}\ ds\to\int_{0}^{\infty}\frac{\sin s}{s}\ ds=\frac{\pi}{2}.$$ Por lo tanto, $$\lim\limits_{n\to\infty}\ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sin kx}{k}=\frac{\pi-x}{2}=f(x),\qquad x\in(0,2\pi).$$ La serie converge en $\mathbb R$ a la extensión periódica de $f(x)$ .
Roger Hoover
Puntos
56
Para cualquier $n\geq 1$ sabemos dónde están los puntos estacionarios de $F_n(x)$ ocurren desde que $F_n'(x)$ tiene una forma cerrada sencilla.
De ello se desprende que $$ \sup_{x\in\mathbb{R}} |F_n(x)| = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sin\left(\frac{2\pi k}{2n+1}\right) $$ y más $[0,\pi]$ tenemos $\sin(x)\leq \frac{4}{\pi^2}x(\pi-x)$ por concavidad, por lo tanto $$ \sup_{x\in\mathbb{R}} |F_n(x)| \leq \frac{8n^2}{(2n+1)^2} <2.$$ También podemos demostrar que la secuencia $$ A_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sin\left(\frac{2\pi k}{2n+1}\right) $$ es creciente y convergente a $$ \int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx = \text{Si}(\pi) \approx 1.85194. $$ En última instancia, podemos comprobar que $\sum_{k\geq 1}\frac{\sin(kx)}{k}$ es la serie de Fourier de la onda diente de sierra, es decir, la $2\pi$ -extensión periódica de $\frac{\pi-x}{2}$ definido sobre $(0,2\pi)$ . Esto es suficiente para garantizar la convergencia en $L^2$ Además, tenemos un límite uniforme para $|F_n(x)|$ .
