Signo molesto en la interpretación geométrica de la curvatura

Question

En este El vídeo Susskind ofrece una derivación heurística de la fórmula de la curvatura que resumo como sigue:

En un sistema de coordenadas, se parte de un vector $v_A$ en el origen, y extenderlo a un campo vectorial paralelo a lo largo del lado inferior del cuadrado (longitud de lado $\varepsilon$ ); dejar $v_B$ sea el valor de la esquina inferior derecha. A continuación, extienda $v_B$ a un campo vectorial paralelo a lo largo del lado derecho, obteniendo $v_C$ que se extiende igualmente en paralelo a lo largo de la parte superior para obtener $v_D$ . Por último, se extiende $v_D$ de nuevo en paralelo a lo largo del lado izquierdo para obtener $v'_A$ .

Ahora

$$ v_A - v'_A = [(v_C - v_D) - (v_B - v_A)] - [(v_C - v_B) - (v_D - v'_A)] $$

Nota $v_C - v_D$ es ( $\varepsilon$ veces) una derivada covariante de $v$ (de primer orden) a lo largo de la $\mu$ dirección, y así es $v_B - v_A$ . Así que razonablemente podemos escribir (en segundo orden)

$$[(v_C - v_D) - (v_B - v_A)] = \varepsilon^2 \nabla_\nu \nabla_\mu v $$

ya que tomamos la diferencia de $\mu$ derivadas covariantes, en el $\nu$ dirección. El otro término va mutatis mutandis de manera que se acaba encontrando (y este es de hecho el resultado que escribe Susskind)

$$v_A - v'_A = \varepsilon^2 [\nabla_\nu, \nabla_\mu] v$$

El único problema es que esperaba tener $[\nabla_\mu, \nabla_\nu]$ en la fórmula y no al revés. Así es como se indica en Gauge Fields, Knots and Gravity de Baez & Muniain (p. 247), y también coincide con la fórmula obtenida en Peskin & Schroeder (p. 484). Es un detalle menor, pero no consigo entender de dónde puede venir esta diferencia de signo, y me gustaría mucho acertar.

Answer 1

¿Podría ser que sea sólo una cuestión de convención de la definición de la curvatura? Véase https://mathoverflow.net/questions/342288/conventions-for-riemann-curvature-tensor

(Lo publicaría como comentario pero no tengo suficiente reputación)

EDIT: Permítanme dar más detalles. El tensor de curvatura de Riemann se puede definir como: $R(X,Y)Z=[\nabla_X,\nabla_Y]Z-\nabla_{[X,Y]}Z $ . Sin embargo, también puede definirse con un signo opuesto global delante. Es posible que Susskind utilice la convención opuesta a la suya.

EDIT#2: ahora abordando la pregunta original que interpreté mal al principio. Creo que el problema es que no se han tenido en cuenta las contribuciones de segundo orden. En primer lugar permítanme decir que el RHS de la primera ecuación podría ser engañoso, ya que no se puede sumar vectores en diferentes puntos. Por supuesto que podemos entender esa expresión de forma infinitesimal, con todos los vectores en el punto original. Dicho esto, permítanme aclarar que $v_C-v_D=\epsilon \nabla_\mu v_C$ sólo es válido hasta el primer orden, pero como lo que se busca es un resultado de segundo orden, lo correcto es escribir $$v_C-v_D=\epsilon \nabla_\mu v_C -\frac{\epsilon^2}{2} \nabla_\mu\nabla_\mu v_C$$ Entonces, $v_C$ debe escribirse de forma similar en términos de $v_B$ y $v_B$ en términos de $v_A$ (siempre hasta el segundo orden en $\epsilon$ ). Una vez hecho esto, se obtiene $$v_A-v'_A=\epsilon^2 [\nabla_\mu,\nabla_\nu]v_A $$

Answer 2

Creo que lo he conseguido siguiendo las líneas indicadas por Alan Garbarz. Permítanme escribirlo aquí ya que puede ser de interés.

En lugar de seguir el argumento de Susskind (que empiezo a sospechar que está equivocado), hacemos un transporte a la vez, manteniendo sólo los términos hasta el cuadrático en $\varepsilon$ . Comenzamos con

$$v_B = v_A + \varepsilon \nabla_\mu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\mu v_A$$

Entonces

\begin{equation*} \begin{split} v_C & = v_B + \varepsilon \nabla_\nu v_B + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_B \\ & = \left( v_A + \varepsilon \nabla_\mu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\mu v_A \right) + \varepsilon \nabla_\nu v_A + \varepsilon^2 \nabla_\nu \nabla_\mu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_A \end{split} \end{equation*}

Esta vez veremos alguna cancelación muy necesaria (el signo menos es ya que $D$ está en negativo $\mu$ dirección de $C$ ):

\begin{equation*} \begin{split} v_D & = v_C - \varepsilon \nabla_\mu v_C + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\mu v_C \\ & = \left( v_A + \varepsilon \nabla_\mu v_A + \varepsilon \nabla_\nu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\mu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_A + \varepsilon^2 \nabla_\nu \nabla_\mu v_A \right) \\ & - \varepsilon \nabla_\mu v_A - \varepsilon^2 \nabla^2_\mu v_A - \varepsilon^2 \nabla_\mu \nabla_\nu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\mu v_A \\ & = v_A + \varepsilon \nabla_\nu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_A + \varepsilon^2 [\nabla_\nu, \nabla_\mu]v_A \end{split} \end{equation*}

Por último, tenemos \begin{equation*} \begin{split} v'_A & = v_D - \varepsilon \nabla_\nu v_D + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_D \\ & = \left(v_A + \varepsilon \nabla_\nu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_A + \varepsilon^2 [\nabla_\nu, \nabla_\mu] v_A \right) \\ & - \varepsilon \nabla_\nu v_A - \varepsilon^2 \nabla^2_\nu v_A + \frac{\varepsilon^2}{2} \nabla^2_\nu v_A \\ & = v_A + \varepsilon^2 [\nabla_\nu, \nabla_\mu]v_A \end{split} \end{equation*}

Así, por fin,

$$ v_A - v'_A = - \varepsilon^2 [\nabla_\nu, \nabla_\mu]v_A = \varepsilon^2 [\nabla_\mu, \nabla_\nu]v_A $$