Pregunta sobre la búsqueda de la derivada de una función a trozos con valor absoluto

Question

Dejemos que $f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2 ~&\text{if } |x|\leq c \\ c|x| - \frac{1}{2}c^2 ~&\text{if } |x|> c \end{cases}$ , donde $c>0$ es sólo un valor constante en $\mathbb{R}$

Entonces descubro $f'(x) = \begin{cases}x ~&\text{if } |x| < c \\ \frac{cx}{|x|} ~&\text{if } |x| > c \end{cases}$ .

Desde entonces, $c>0$ es una constante en $\mathbb{R}$ .
Entonces, $\lim_{h\rightarrow c^{-}}\frac{f(h)-f(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow c^{-}}\frac{\frac{1}{2}h^2-\frac{1}{2}c^2}{h} = \frac{0}{c} = 0$
También, $\lim_{h\rightarrow c^{+}}\frac{f(h)-f(c)}{h}=\lim_{h\rightarrow c^{+}}\frac{c|h|-\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{2}c^2}{h} = \frac{0}{c} = 0$

Entonces, en este caso es $f'(x)=\begin{cases}x ~&\text{if } |x| < c \\ \frac{cx}{|x|} ~&\text{if } |x| > c \\ 0 ~&\text{if } |x| = c \end{cases}$ la derivada de $f(x)$ ¿en qué consiste?

Answer 1

No me parece del todo bien. El denominador debería ser $h-c$ en cada cálculo.

Para $x = c > 0$ la derivada de la izquierda es, \begin{align} \lim_{h \to c^-} \frac{f(h)-f(c)}{h-c} = c \end{align} y la derivada derecha, \begin{align} \lim_{h \to c^+} \frac{f(h)-f(c)}{h-c} = c \end{align} para que la derivada en $c$ existe pero es $c$ no $0$ . Argumentos similares se aplican cuando $x = -c$ .