¿El difeomorfismo preserva la dimensión?

Question

Quiero aplicar el teorema de la función inversa a un mapeo general que es un difeomorfismo. El teorema de la función inversa, como se indica en mi libro de texto, requiere que la dimensión de los espacios de rango y dominio sean iguales. Veo en el post El difeomorfismo preserva la dimensión

que este es efectivamente el caso en el que el rango y el dominio del mapeo son subconjuntos abiertos de $\Bbb R^n$ y $\Bbb R^m$ . Mi pregunta es si se puede tener un difeomorfismo entre todo de $\Bbb R^n$ y todo de $\Bbb R^m$ donde $n$ y $m$ no son iguales?

Answer 1

No, ya que un difeomorfismo $f$ entre colectores suaves $M$ y $N$ induce a un isomorfismo de espacio vectorial entre espacios tangentes $T_p(M)$ y $T_{f(p)}(N)$ para todos $p\in M$ . Esto significa que los espacios tangentes tienen la misma dimensión, por lo que las variedades tienen la misma dimensión.

Esto también es cierto para los homeomorfismos, pero la prueba es más difícil (véase el teorema de la "invariancia de dominio" de Brouwer).