Entender mejor la pendiente

Question

Recientemente, me he dado cuenta de lo mucho que he dado por sentado en la comprensión de la pendiente de una línea y la pendiente de una curva en general. Dicho esto, quería aclarar mi comprensión para asegurarme de que estoy en el camino correcto.

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Después de leer esta pregunta: " Entender la pendiente de una línea como una tasa de cambio ", ahora veo comment la pendiente de la línea $y = f(x): = mx + b$ (donde $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ) es la tasa de cambio de $y$ con respecto a $x$ . Sin embargo, donde me confundo un poco es en lo siguiente: ya que el valor $y$ de la función cambia en una cantidad $\Delta y$ por cada $\Delta x$ cambio en $x$ Por lo tanto $y$ cambia por una cantidad $ m =\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . Entonces, si estudiamos la línea $y = \frac{2}{3}x$ ¿significa eso que la pendiente de la línea puede interpretarse como " dos unidades de $y$ cada tres unidades de $x$ "? Con más unidades relacionables, si $y$ se mide en metros y $x$ se mide en segundos, ¿la tasa de cambio de una partícula que viaja a lo largo de esta línea se leería como " dos metros cada tres segundos "?

Esto parece correcto, sin embargo en general para cualquier curva diferenciable $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que no puede ser una línea que he visto por ejemplo que $g'(3) = \frac{2}{5} $ (dado en metros/segundos ) se lee como " dos quintos metros por segundo "; simplemente porque la derivada es la tasa de cambio en un punto (o en un instante).

¿Es correcto lo que he entendido?

Answer 1

Así que, si estudiamos la línea $y = \frac{2}{3}x$ ¿significa eso que la tasa de cambio de la línea puede interpretarse como "dos unidades de

Answer 2

La derivada en un punto $x_0\in\mathbb{R}$ de una función diferenciable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una linealización local de la función. La derivada $f'(x_0)$ está asociada a una transformación lineal: $$ h\mapsto f'(x_0)h\tag{1} $$

Dependiendo de si se habla de la derivada $f'(x_0)$ para la transformación lineal (1), se tienen todo tipo de "interpretaciones".

Geométricamente, la gráfica de la función lineal (1) es la línea tangente a la gráfica de la función $f$ . La "pendiente" $m=f'(x_0)$ de la línea tangente $y=f'(x_0)(x-x_0)$ dice que siempre que $x$ aumenta $h$ unidades en $x_0$ es decir, de $x_0$ a $x_0+h$ la variable dependiente $y$ aumenta $mh$ unidades.

Si se interpreta la función $f$ como un movimiento unidimensional de una partícula (de modo que la variable $x$ se interpreta como tiempo ), entonces el signo de $m$ indica qué dirección ( $+1$ para el derecho y $-1$ para la izquierda) la partícula está viajando, y el valor absoluto $|m|$ dice lo rápido que viaja la partícula en el momento de $x=x_0$ .