Sólo cubriré la expansión como $x \to +\infty$ aquí, la expansión como $x \to 0$ es trivial. Será más fácil presentar la expansión si agrupamos las partes real e imaginaria. $$C(x) + iS(x) \asymp \sqrt{\frac{\pi}{8}}(1+i) + \frac{e^{ix^2}}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} \left(\frac12\right)_n}{x^{2n+1}}\tag{*1}$$ donde $\left(\lambda\right)_n = \lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+n-1)$ es el $n^{th}$ subiendo Símbolo del martillo pilón .
Se sabe que $\displaystyle\;C(+\infty) = S(+\infty) = \sqrt{\frac{\pi}{8}},\;$ tenemos
$$\sqrt{\frac{\pi}{8}}(1+i) - (C(x) + iS(x)) = \int_x^\infty e^{i z^2} dz$$
Podemos ver la última integral como una integral de contorno de $x$ a $+\infty$ . Desde el $e^{it^2}$ decae a cero rápidamente a medida que $|z| \to \infty$ en el $1^{st}$ cuadrante, podemos deformar el contorno a uno de $x$ a $e^{i\pi/4} \infty$ sin cambiar su valor.
Introducir la parametrización $z = x \sqrt{1 + it}$ encontramos
$$\int_x^\infty e^{iz^2} dz = \frac{i x e^{ix^2}}{2} \int_0^\infty e^{-x^2 t} \frac{dt}{\sqrt{1+it}} = \frac{i x e^{ix^2}}{2} \int_0^\infty e^{-x^2 t}\underbrace{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-it)^n \left(\frac12\right)_n}{n!}}_{\text{expansion of }1/\sqrt{1+it}} dt$$
Aunque la expansión dentro de la integral de la derecha sólo es válida para $t < 1$ , todo está en una forma que podemos aplicar El lema de Watson . Podemos integrar la expansión término a término y deducir la expansión asintótica en $(*1)$ .
