Probabilidad condicional de las variables de Poisson

Question

Tengo dos variables de Poisson independientes $X$ y $Y$ con parámetros $\lambda$ y $\mu$ respectivamente. He definido $Z=X+Y$ y encontró que $Z$ también tiene una distribución de Poisson con el parámetro $\lambda + \mu$ .

Mi tarea era calcular $P(X=k|Z=n)$ para $0 \leq k \leq n$ . Lo sé por esta pregunta que la solución es ${n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}$ pero no he podido averiguar cómo conseguir esta solución.

Me he dado cuenta de que desde $n \geq k$ , solicitando $X=k$ equivale a $X=n-m$ para algunos $m$ tal que $n-m = k$ . Así que utilicé la fórmula de la probabilidad condicional y traté de encontrar $P(X=n-m \land Z =n)$ utilizando la suma $\sum_{m=0}^n P(X=n-m; Z=n)$ pero no tuve éxito en esto.

¿Puede alguien mostrarme cómo llegar a la conclusión deseada?

Answer 1

\begin{align} P(X=k|Z=n)&=\frac{P(X=k,Z=n)}{P(Z=n)}\\ &=\frac{P(X=k,X+Y=n)}{P(Z=n)}\\ &=\frac{P(X=k,Y=n-k)}{P(Z=n)}\\ &=\frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(Z=n)}\\ &=\frac{\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\frac{e^{-\mu}\mu^{n-k}}{(n-k)!}}{\frac{e^{-\lambda-\mu}(\lambda+\mu)^n}{n!}}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{\lambda^k}{(\lambda+\mu)^k}\frac{\mu^{n-k}}{(\lambda+\mu)^{n-k}}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ \end{align} donde $p=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}$ .