Me sorprendió descubrir que la siguiente pregunta está abierta: ¿Es $e^e$ ¿transcedental?
Según Wikipedia La respuesta positiva a la conjetura de Schanuel implica un "sí" a la pregunta anterior.
Mis preguntas:
1) ¿Podemos al menos demostrar que $e^e$ es irracional? ¿O esto también está abierto?
2) Dado que $e^e$ es irracional, ¿se deduce que $e^e$ ¿es transcedental?
Comentario añadido : Para (2) quiero decir "¿El conocimiento que $e^e$ es irracional ayuda con la prueba de que $e^e$ es transcedental?"
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(2) no es ciertamente correcto.
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Dudo que esto se pueda demostrar de forma sencilla. ¿Qué quiere decir en (2)?
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@Paul: ¿Qué quieres decir? ¿Es falso? Pero entonces las únicas opciones para $e^e$ son racionales o algebraicas.
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Buena pregunta. Intentando para el 1, y sí, para el 2, no necesariamente.
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@KonstantinosGaitanas: Quiero decir "demostrar que $e^e$ es transcedental, dado el supuesto de que es irracional"
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@ABcDexter: No puedo entender tu respuesta.
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@Paul: Lo que yo entendía de (2) era que se preguntaba si $e^e$ puede tener alguna propiedad especial que nos permita concluir que $e^e$ es trascendental si supiéramos que $e^e$ era irracional. No sé la respuesta, pero sospecho muy fuertemente que la respuesta es NO (es decir, no sabemos por el momento que $e^e$ tiene esa propiedad especial).
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Sidenote: Según esta respuesta de mathoverflow por Matt Papanikolas al menos uno de $e^e$ y $e^{e^2}$ es trascendental.
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Vaya, Stephan Schanuel fue profesor en mi universidad antes de fallecer