Tengo una pregunta sobre el ejercicio 2.1.5 de la página 19 de este libro: http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~zeitouni/cupbook.pdf
Me gustaría tener una referencia o ayuda sobre este ejercicio.
El ejercicio plantea lo siguiente:
Consideremos las matrices aleatorias simétricas $X_N$ con las varibles aleatorias independientes de media cero $\{ X_N(i,j) \}_{1\le i \le j\le N}$ ya no se supone que se distribuye idénticamente ni toda la varianza $1/N$ . Compruebe que el Teorema 2.1.1 sigue siendo válido si se supone que para todo $\epsilon >0 $ , $$\lim_{N \to \infty} \frac{\#\{ (i,j) : |1-NE(X_N(i,j)^2)|< \epsilon \}}{N^2}=1$$
y para todos $k\ge 1$ existe un número finito de $r_k$ independiente de $N$ s.t: $$\sup_{1\le i \le j\le N} E|\sqrt{N}X_N(i,j)|^k \le r_k$$
donde el Teorema 2.1.1 aparece en la página 7, y dice lo siguiente: Para una matriz de Wigner, la medida empírica $L_N$ converge débilmente, en probabilidad, a la distribución del semicírculo.
Entonces, ¿cómo demostrar que el teorema sigue siendo el mismo bajo este cambio, hay alguna referencia para esto?
Gracias. P.D. Traté de hacer mi pregunta en MSE, pero hasta ahora sólo 11 visto y ninguno respondió, parece más apropiado aquí.
