Inversa de la matriz antidiagonal en bloque

Question

Dejemos que $A \in \mathbb R^{n\times n}$ sea una matriz antidiagonal en bloque invertible (con $d$ bloques), es decir $$ A = \begin{pmatrix} & & & A_1 \\ & & A_2 & \\ & \cdot^{\textstyle \cdot^{\textstyle \cdot}} & & \\ A_d\end{pmatrix}, $$ con todos los bloques cuadrados $A_1, \ldots, A_d$ invertible. ¿Existe una fórmula para su inversa?

En el caso diagonal, es sólo la matriz diagonal de bloques con los inversos de los bloques, ¿hay un equivalente para el caso antidiagonal?

Answer 1

Creo que esta es la respuesta con todos los bloques invertibles. $$ A = \begin{pmatrix} & & & A_1 \\ & & A_2 & \\ & \dots & & \\ A_d\end{pmatrix}, $$

$$ B = \begin{pmatrix} & & & A_d^{-1} \\ & & A_{d-1}^{-1} & \\ & \dots & & \\ A_1^{-1}\end{pmatrix}, $$ tenemos

$$AB=I$$

Answer 2

Existe un matriz de permutación $\rm P$ tal que

$${\rm A P} = \mbox{diag} \left( {\rm A}_1, {\rm A}_2, \dots, {\rm A}_d \right)$$

Suponiendo que todos los ${\rm A}_i$ los bloques son invertibles,

$$\left( \rm A P \right)^{-1} = {\rm P}^\top {\rm A}^{-1} = \mbox{diag} \left( {\rm A}_1^{-1}, {\rm A}_2^{-1}, \dots, {\rm A}_d^{-1} \right)$$

y, por lo tanto,

$${\rm A}^{-1} = \color{blue}{{\rm P} \, \mbox{diag} \left( {\rm A}_1^{-1}, {\rm A}_2^{-1}, \dots, {\rm A}_d^{-1} \right)}$$

Por ejemplo, si $d = 3$ ,

$${\rm A}^{-1} = \begin{bmatrix} & & {\rm I}\\ & {\rm I} & \\ {\rm I} & & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\rm A}_1^{-1} & & \\ & {\rm A}_2^{-1} & \\ & & {\rm A}_3^{-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & & {\rm A}_3^{-1}\\ & {\rm A}_2^{-1} & \\ {\rm A}_1^{-1} & & \end{bmatrix}$$

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