¿Qué son las secuencias convergentes en un espacio métrico dado?

Question

Deja que $ \mathbb{R} $ se le da una métrica $d$ , $$d(x, y) =\begin{cases} |x-y| +1& x > 0 \text{ or(exclusive or) } y>0 \\ |x-y|& \text{otherwise} \end{cases} $$ ¿Qué son las secuencias convergentes en ese espacio? Creo que el único problema es con las secuencias que convergen hacia 0. ¿No convergen aquí? Porque $\epsilon - 1 $ no tiene que ser positivo?

Answer 1

Una secuencia convergerá a $0$ si converge a $0$ desde la izquierda es decir, si converge a $0$ en la métrica estándar y contiene un número finito de miembros positivos.