Supongamos que $T^{m}=T^{n}$ para algunos enteros positivos $m \neq n .$ Encuentre las condiciones en $T, m$ y $n$ tal que $T^{2}=T$ .

Question

Problema : Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbf{C}$ y que $T: V \mapsto V$ denota un mapa lineal que satisface $T^{m}=T^{n}$ para algunos enteros positivos $m \neq n .$ Encuentre las condiciones en $T, m$ y $n$ tal que $T^{2}=T$ .

Intento :
Dejemos que $A$ sea la matriz que representa $T$ con respecto a cualquier base. Entonces $A^{m}=A^{n}$ . Si $A=P R P^{-1}$ y $R$ es la matriz de Jordan correspondiente a $A$ alors $R^{m}=R^{n} .$

No tengo ni idea de cómo continuar, no veo si lo que he hecho me lleva a alguna parte. ¿Alguna ayuda? Seguramente $ A=0,I $ son algunas de las condiciones, pero ¿cómo encontrar el resto?

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Si $T^2=T$ el polinomio mínimo $\mu_T(x)$ de $T$ divide $x(x-1)$ . Por lo tanto, $\mu_T$ se divide en factores lineales y $T$ es diagonalizable con sólo $0$ o $1$ en la diagonal.

Por el contrario, si $T$ es diagonalizable con sólo $0$ o $1$ en la diagonal, entonces $T^m = T^n$ para cualquier $m,n \in \mathbb N$ .

Por lo tanto, $T$ diagonalizable con sólo $0$ o $1$ en la diagonal es la condición que buscamos.