Expectativa $T(T-1)$ donde $T$ es la media muestral de los números aleatorios i.i.d. Bernoulli

Question

Quiero que la expectativa de $T(T-1)$ donde $T$ es la media muestral de las variables aleatorias i.i.d. Bernoulli con parámetro $p$ .

Utilizando la propiedad de linealidad, tenemos $$\mathbb E\{T(T - 1)\} = \mathbb E(T^2) - \mathbb E(T).$$

Desde $\mathbb E(T) = p$ y $\mathbb E(T^2) = \tfrac{p(1-p)}{n} + p^2$ Creo que la respuesta debería ser $\tfrac{p^2(n-1)}{n} - \tfrac{p(n-1)}{n}$ pero en mis notas dice que la expectativa es $n(n-1)p^2$ .

¿Mis notas son incorrectas o he cometido un error?

Gracias.

Answer 1

Su respuesta es correcta si $T$ es la media de la muestra; es decir, $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad X_i \sim \operatorname{Bernoulli}(p).$$ La expresión $n(n-1)p^2$ es correcto si $T$ es la muestra total ; es decir, $$T = \sum_{i=1}^n X_i.$$