Dada la ecuación invisible de Burgers con datos iniciales parciales $$ u_t + u u_x = 0,\qquad u(x,0) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 && \text{if } x<-1 \\ &2 && \text{if } {-1}<x<0 \\ &4 && \text{if } {0}<x<1 \\ &2 && \text{if } 1\leq x<2 \\ &0 && \text{if } x\geq 2 \end{aligned}\right. $$
Quiero encontrar la solución exacta de este problema representado en una única función a trozos.
Progreso y confusión
Sé que el problema de Riemann tiene solución exacta para las ondas de rarefacción y las ondas de choque respectivamente. Así que para la región $(-1,1)$ en $x=-1$ y $x=0$ Si las características se separan, obtendré las ondas de rarefacción y la solución tendrá la misma forma dentro de las diferentes regiones espaciales como sigue: $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 && \text{if } x<0 \\ &\frac{x}{t} && \text{if } {0}<x<2t \\ &2 && \text{if } x>2t \\ \end{aligned}\right. ,and\;\;\; u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &2 && \text{if } x<2t \\ &\frac{x}{t} && \text{if } {2t}<x<4t \\ &4 && \text{if } x>4t \\ \end{aligned}\right. $$ y la solución de la onda de choque se producirá en la región (1,2) y también estará en la misma forma dentro de la región espacial diferente como sigue: $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &4 && \text{if } x<3t \\ &2 && \text{if } x>3t \\ \end{aligned}\right. ,and\;\;\; u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &2 && \text{if } x<t \\ &0 && \text{if } x>t \\ \end{aligned}\right. $$
Esos diferentes perfiles de solución tienen un claro solapamiento en la región espacial, no estoy seguro de lo que ocurrirá en esa zona de solapamiento, y cómo podría condensarlos en una única función a trozos para representar la solución para toda la región.
Para el caso de las ondas de rarefacción, según el perfil de la región espacial, supongo que las dos primeras ondas de rarefacción se fusionarán al principio como sigue: $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 && \text{if } x<0 \\ &\frac{x}{t} && \text{if } {0}<x<4t \\ &4 && \text{if } x>4t \\ \end{aligned}\right. $$ Pero en el caso de los dos choques, como el primero es más rápido que el segundo, el primero parece tragarse al segundo y, por tanto, sólo quedan las ondas del primer choque: $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &4 && \text{if } x<3t \\ &0 && \text{if } x>3t \end{aligned}\right. $$ ¿Tengo razón en esos estados intermedios? Y también, ¿cuál será el caso cuando las ondas de rarefacción se encuentren con las ondas de choque?
