¿Son estos sistemas de ecuaciones lineales siempre solucionables

Question

Dejemos que $X$ sea un complejo simplicial (finito) y que $f$ sea un mapa del conjunto de sus $n$ -Simples a un grupo abeliano $A$ con la propiedad de que cada ciclo se asigna a $0$ (ampliando $f$ linealmente).

Dejemos que $Y$ sea el cono de $X$ . ¿Es posible extender este mapa a un mapa del $n$ -simples de $Y$ a $A$ con la misma propiedad?

Dejemos que $m$ sea el número de $n$ -simples en $X$ y $n$ sea el número de $n-1$ -simples de $X$ . Tenemos que encontrar un valor para cada nuevo $n$ -simplemente en $Y$ por lo que obtenemos un sistema lineal de ecuaciones en $n$ variables. Además, el límite de cada nuevo $n+1$ -simplex debe asignarse a $0$ (la propiedad que estoy buscando). Así que tenemos $m$ ecuaciones.

He aquí un ejemplo, en el que $X=\partial \Delta^2,n=1$ . Dado $a,b,c$ con $a+b+c=0$ .

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Tenemos que encontrar $x,y,z$ satisfaciendo $a=z-y,b=x-z,c=y-x$ . Entonces se puede comenzar con la conjetura $y=0$ . La primera ecuación da como resultado $z=a$ y la última ecuación da $x=-c$ . Insertando esto en la segunda ecuación, obtenemos $b=-c-a$ , que también se cumple por suposición. Así que la afirmación es cierta para esta elección especial de $X$ . Estoy buscando una prueba para cada $X$ .

Estoy escribiendo un programa de ordenador, que calcula la homología simplicial con coeficientes en un $\mathbb{Q}$ de un complejo simplicial. De ahí surgió mi motivación.

Answer 1

Si estuvieras trabajando sobre $\mathbb Q$ en lugar de $\mathbb Z$ Esto sería fácil (y el último párrafo de su pregunta sugiere que la información sobre $\mathbb Q$ puede ser útil). El requisito de que $f$ (me refiero a su extensión lineal, como en la pregunta) desaparece en los ciclos significa que se factoriza como $g\circ\partial$ para algún mapa lineal $g$ de la $(n-1)$ -límites dimensionales a $A$ . Sobre un campo, podemos extender cualquier $g$ a una función lineal en el espacio de todos los $(n-1)$ -cadenas en $X$ e incluso en $Y$ . (La extensión de $X$ a $Y$ podría simplemente hacer $g$ envíe todas las nuevas simplices, las que no están en $X$ a 0; la suposición de "campo" está involucrada en obtener la extensión de los límites a todas las cadenas en $X$ .) Ahora con $g$ ampliado de esta manera, ampliar $f$ como $g\circ\partial$ en el $n$ -cadenas de $Y$ .