Dejemos que $e_n = (0,0,\dots,1,0,0,\dots)$ (es decir, la componente n-ésima es 1). Demuestre que $e_n\rightharpoonup 0$ en $\sigma(\ell^{\infty},(\ell^{\infty})')$ . Tengo problemas porque el doble de $\ell^{\infty}$ no es $\ell^1$ . ¿Podría alguien darme algunas ideas? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tienes razón en que no puedes usar el argumento directo para $1 \le p < \infty$ . ¿Has probado la contradicción? Esto le da una $x' \in (\ell^\infty)'$ y $\varepsilon > 0$ con $| x'(e_{n_k}) | \ge \varepsilon$ para alguna subsecuencia. ¿Puedes usar esto para construir $x \in \ell^\infty$ que explota la $e_n$ ?
Leon Katsnelson
Puntos
274
Bueno, en cierto sentido, $l_1$ ¡es "suficiente" de un dual para los propósitos de este problema!
Supongamos que $f$ es un funcional lineal, y que $g_k = f(e_k)$ .
Elija $x_k$ tal que $|x_k| = 1$ y $f(x_k) = |f(e_k)| = |g_k|$ .
Al elegir $y_n = (x_1,...,x_n,0,...)$ vemos que $\|y_n\| = 1$ y $|f(y_n)| = \sum_{k=1}^n |g_k| \le \|f\|$ y así $g \in l_1$ y por lo tanto $f(e_k) = g_k \to 0$ .
Aparte : No es que ayude aquí, un poco más de trabajo muestra que cualquier elemento de la doble $f$ puede escribirse como $f=g+h$ donde $g \in l_1$ y $h = 0$ en $c_0$ .
