Una pregunta básica sobre la definición de orden

Question

En el primer capítulo del libro de análisis de Rudin, "orden" en un conjunto se define de la siguiente manera:

Sea $S$ un conjunto. Un orden en $S$ es una relación, denotada por $<$, con las siguientes dos propiedades:

(i) Si $x \in S$ y $y \in S$ entonces una y solo una de las siguientes afirmaciones $$ x < y, x=y, y

(ii) Si $x,y,z \in S$, entonces $x < y$ y $y < z$ implica $x

¿Cómo es esto diferente de la notación usual de orden parcial/total? Esto parece ser un orden total. ¿Por qué se define "orden" de esta manera? Además, él no ha definido $=$ aquí.

Answer 1

El origen de tu dificultad parece ser que las personas utilizan diferentes convenciones para definir "orden". El primer problema surge en la definición de "orden parcial", por la cual algunas personas entienden como una relación reflexiva, transitiva y antisimétrica $\leq$, mientras que otras entienden como una relación irreflexiva y transitiva $<$. Dada un orden parcial en un conjunto $A$ en cualquiera de los sentidos, uno puede fácilmente definir el orden correspondiente en el otro sentido, añadiendo o eliminando los pares $(a,a)$ para todo $a\in A$. Por lo tanto, las personas usualmente no se preocupan demasiado por la distinción, pero técnicamente son dos conceptos diferentes de orden. Yo suelo llamar a la versión reflexiva un "orden parcial" y a la versión irreflexiva un "orden parcial estricto", pero hay personas que prefieren utilizar el nombre más corto "orden parcial" para la versión irreflexiva.

Los órdenes total (o lineal) son luego definidos en la versión reflexiva al requerir $a\leq b$ o $b\leq a$ para todo $a,b\in A$, y en la versión irreflexiva al requerir en su lugar $a < b$ o $a = b$ o $b < a.
Nuevamente, uno puede convertir cualquier tipo de orden total al otro tipo, al igual que con los órdenes parciales.

Para aumentar aún más la confusión, algunas personas utilizan "orden" (sin ningún adjetivo) para referirse a un orden parcial, mientras que otros lo utilizan para referirse a un orden total. Por lo tanto, el resultado final es que "orden" puede tener cualquiera de cuatro significados. Simplemente debes acostumbrarte a eso; no recibirás apoyo por denunciar a Rudin solo porque él eligió una convención diferente a la que aprendiste primero.

Answer 2

Esto es ligeramente diferente de la definición estándar de un orden total en el sentido de que tiene en cuenta $=$ por separado, mientras que un orden total ($\le$, por ejemplo), tiene las siguientes propiedades:

$\forall x,y \in S$, o bien $x \le y$ o $y \le x$. (Totalidad)

$\forall x,y,z \in S$, si $x \le y$ y $y \le z$, entonces $x \le z$. (Transitividad)

$\forall x,y \in S$, si $x \le y$ y $y \le x$, entonces $x = y$. (Antisimetría)

, del cual este orden solo tiene transitividad.

Presumiblemente, Rudin define "orden" de esta manera porque hace que algunas de las demostraciones en su libro sean más naturales que usando $\le$ como un orden total, o alguna $\sim$ como un orden parcial (en el que las últimas dos condiciones del orden total aún están presentes, pero la primera se reemplaza por la condición más débil de reflexividad, es decir, que $\forall x \in S, x \sim x$).

Answer 3

Para el \=, puedes definirlo negando los otros dos casos. Es decir, = significa no $<$ y no $>$