¿Puede una extensión del anillo conducir a una nueva gcd?

Question

Q . Dado $f,g$ coprima en el anillo $R$ es decir $\exists h,k \in R$ , s.t. $fh+gk=1$ . ¿Es posible que, después de alguna manera ampliar $R$ para llamar $S$ tenemos $e,f_1,g_1 \in S$ , $f=ef_1$ , $g=eg_1$ s.t. $e\ne1$ ?

No sé si existe esa "extensión" en anillo, comparada con la "extensión de campo".

Antecedentes: Estoy leyendo el libro de David R. Finston y Patrick J. Morandi Álgebra abstracta: Estructura y aplicación y en la sección 7.3 página 112 hay un ejercicio

Ejercicio 5 . Sea $L$ sea cualquier campo de extensión de $F$ . Un par de polinomios $f$ y $g$ en $F[x]$ también puede considerarse que se encuentra en $L[x]$ . Utilice la proposición 5.5 para ver que si $d$ y $e$ son los gcds de $f$ y $g$ calculado sobre $F$ y $L$ respectivamente, entonces cada uno divide al otro. Así, $gcd(f,g)$ está bien definido en el sentido de que es el mismo polinomio en $F[x]$ si $f$ y $g$ se ven en $F[x]$ o $L[x]$ .

Estoy de acuerdo con todo lo que se dice en el libro. Sin embargo, si lo que pregunté en Q es posible, lo que impide que esto ocurra en Ejercicio 5 ¿Se debe a $F$ es un campo? o debido a $F[x], L[x]$ ¿son PID?

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo y $S$ que contiene $R$ como un subring. Supongamos que para $f,g\in R$ existe $h,k$ tal que $fh+gk=1$ .

Esta igualdad puede verse en $S$ Así que $f,g$ también son coprimos en $S$ (Supongo que para ti, "coprime" significa que hay una igualdad de Bézout, que no es la definición correcta, pero da igual...)

Para responder a su pregunta original: dejemos que $e\in S$ dividiendo $f$ y $g$ es $S$ . Entonces $e$ divide $fh+gk=1$ lo que significa que $e$ es invertible (en su pregunta debe sustituir " $e\neq 1$ " por " $e$ es invertible")

Una pregunta más interesante es preguntar si el gcd puede cambiar cuando se extiende el anillo $R$ (y sospecho que es realmente la pregunta que querías hacer). La respuesta es NO si $R$ es un PID, o incluso un anillo de Bézout (un dominio integral para el que todo ideal finitamente generado es principal). De hecho, en este caso, entonces un gcd $d$ satisface $aR+bR=dR$ . Entonces $aS+bS=dS$ . Pero es fácil ver que $d$ es entonces un gcd de $a$ y $b$ en $S$ .

Si $R$ no es un dominio de Bézout, pueden ocurrir cosas desagradables. Inspirado por el ejemplo de Gerry Myerson en los comentarios, aquí hay un ejemplo detallado.

Toma $R=\mathbb{Z}[i\sqrt{6}]$ y $S=\mathbb{Z}[\sqrt{2},j]$ . El anillo $S$ es un PID, por lo que cualquier par de elementos tiene un gcd.

Ahora toma $a=2, b=i\sqrt{6}$ . Entonces un gcd de $a$ y $b$ es $1$ En efecto, si $d $ es un divisor común en $R$ entonces $\vert d\vert^2$ debe dividir $4$ y $6$ en $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, $\vert d\vert^2=1$ o $2$ . Pero aquí no hay ningún elemento en $R$ cuyo cuadrado del módulo es $2$ ( $x^2+6y^2=2,x,y\in\mathbb{Z}$ no tiene soluciones). Por lo tanto, $ \vert d\vert^2=d\bar{d}=1$ Así que $d$ es una unidad (ya que $\bar{d}\in R$ ).

Sin embargo, $\sqrt{2}$ es un divisor común de $a$ y $b$ en $S$ que no es una unidad (el potencial inverso es $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ que fácilmente no se encuentra en $S$ )

Answer 2

$h$ y $k$ todavía están en $S$ Así que $1=fh+gk=ef_1h+eg_1k=(f_1h+g_1k)e$ que dice $e$ divide $1$ Así que $e$ es una unidad.