Construye una función en la que cada derivada sea indiferenciable en un punto distinto

Question

Construir una función $f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con las siguientes propiedades o demostrar que no existe tal función:

$1.$ $f_1$ es diferenciable en todas partes excepto en un punto $x_1.$

$2.$ Definir $f_2 : \mathbb{R}\setminus\{x_1\} \to \mathbb{R}$ como $f_2(x) := $ derivado de $f_1$ en $x.$ Este $f_2$ debe ser diferenciable en todo su dominio excepto en un punto $x_2.$

$3.$ Definir $f_3 : \mathbb{R}\setminus\{x_1,\;x_2\} \to \mathbb{R}$ como $f_3(x) := $ derivado de $f_2$ en $x.$ Este $f_3$ debe ser diferenciable en todo su dominio excepto en un punto $x_3.$

$\vdots$

$n.$ Definir $f_n : \mathbb{R}\setminus\{x_1, \cdots, x_{n-1}\} \to \mathbb{R}$ como $f_n(x) := $ derivado de $f_{n-1}$ en $x.$ Este $f_n$ debe ser diferenciable en todo su dominio excepto en un punto $x_n.$

$\vdots$

(Tenga en cuenta que no nos detenemos en ningún $n.$ )

Encontré esta pregunta en una colección de preguntas extra para mi curso de Cálculo.

Empecé probando algo parecido a $f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n (x-i)^i|x-i|$ pero la función en sí no está definida en ningún sitio y no he podido averiguar cómo arreglarlo con un mínimo esfuerzo.

Así que, a continuación, probé algo que realmente podría estar definido en algún lugar como $$f(x) = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{\left(\frac{2}{\pi}\arctan(x-i)\right)^i\left(\frac{2}{\pi}\arctan|x-i|\right)}{(i+1)!}$$

que se define para $x \in \mathbb{R}$ pero no he podido demostrar la continuidad ni la diferenciabilidad. Intuitivamente, siento que como es una suma de funciones continuas, debería ser continua, pero no estoy seguro de que esta intuición sea correcta porque es una suma infinita.

Pregunté a la persona en cuyo sitio web encontré la pregunta (otro estudiante), y me dijo que no estaba seguro de que esa función fuera posible.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una solución diferente es la siguiente "exponencial perezosa" - hay soluciones más fáciles (tal vez busque funciones de bump), pero me gustan las ODEs de retardo. set \begin{align}x\in(-\infty,0]&\implies f(x):=1,\\ x\in(0,1] &\implies f(x) := 1+x, \\ x\in (1,2] &\implies f(x) := 1+x + \frac{(x-1)^2}{2!},\\ x\in(2,3] & \implies f(x) := 1+x + \frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{(x-2)^3}{3!}, \end{align} y en general $$x\in(n,n+1]\implies f(x) := \sum_{k=0}^{n+1} \frac{(x-k+1)^k}{k!}. $$

Si se diferencia, se encuentra para $x\in (n,n+1)$ , donde $n>1$ :

$$ f'(x) = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{(x-k+1)^{k-1}}{(k-1)!} =\sum_{j=0}^{n} \frac{(x-j)^{j}}{j!}= f(x-1)$$ así que a la derecha de 1, resuelve una EDO con retardo con datos iniciales prescritos en $x\in(0,1]$ arriba. $f'$ es claramente discontinua en $0$ pero $$\left.\frac{d}{dx}\frac{(x-1)^2}{2!}\right|_{x=1} = 0 $$ por lo que la derivada es continua en $x=1$ . En general, para cualquier número entero $n\ge 2$ , cerca de $x=n-1$ todos los términos $\frac{(x-h+1)^h}{h!}$ para $h<n$ son suaves, y el nuevo término añadido $T_n$ , $$ T_n(x) := \begin{cases} \frac{(x-n+1)^n}{n!} & x>n-1,\\ 0 & x\le n-1\end{cases}$$ es $C^1$ . Conclusión. $$f \in C^0(\mathbb R)\cap C^1(\mathbb R\setminus \{0\}).$$

Para terminar, utilizamos la EDO de retardo, que dice que diferenciar es lo mismo que trasladar la función a la derecha en uno. Así, para $x\in \mathbb (0,\infty)\setminus \mathbb N$ , $i\in\mathbb N$ , $$ f^{(i+1)}(x+i) = f'(x).$$ Así que la discontinuidad de $f^{(i+1)}$ en $x=i-1$ y la continuidad en números enteros $x=\tilde i > i-1$ se deduce directamente de la dis/continuidad de $f'$ en $0,1,2,\dots$ . Concluimos $$ f \in C^0(\mathbb R)\cap \left(\bigcap_{k=1}^\infty C^k(\mathbb R\setminus{\{0,1,\dots,k-1\}})\right).$$