Diferencias entre estados puros/mixtos/entrelazados/separados/superpuestos

Question

Actualmente estoy tratando de establecer una imagen clara de los estados puros/mixtos/entrelazados/separados/superpuestos. En lo que sigue siempre supondré una base de $|1\rangle$ y $|0\rangle$ para mis sistemas cuánticos. Esto es lo que tengo hasta ahora:

• superpuesto: Una superposición de dos estados que un sistema $A$ puede ocupar, por lo que $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A+|1\rangle_A)$
• separable: $|1\rangle_A|0\rangle_B$ Un estado se llama separable, si es un elemento de la base del (tensor)producto del sistema $A$ y $B$ (para todas las opciones posibles de bases)
• enredado: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A|1\rangle_B+|1\rangle_A|0\rangle_B)$ no es un estado dentro de la base del producto (de nuevo para todas las bases posibles).
• estado mixto: Es una mezcla estadística, así por ejemplo $|1\rangle$ con probabilidad $1/2$ y $|0\rangle$ con probabilidad $1/2$
• estado puro: No es un estado mixto, no hay mezcla estadística

Espero que los ejemplos y clasificaciones anteriores sean correctos. Si no lo son, sería estupendo que me corrigieran. O añadir más casos, si esta lista está incompleta.

En la wikipedia he leído sobre entrelazamiento cuántico

Otra forma de decir esto es que mientras la entropía de von Neumann del estado completo es cero (como lo es para cualquier estado puro), la entropía de los subsistemas es mayor que cero.

que está perfectamente bien. Sin embargo también leí en la wikipedia un criterio para estados mixtos :

Otro criterio equivalente es que la entropía de von Neumann sea 0 para un estado puro, y estrictamente positiva para un estado mixto.

Entonces, ¿implica esto que si miro los subsistemas de un estado enredado, que están en un estado mixto? Suena extraño... ¿Cuál sería la mezcla estadística en ese caso?

Además, también quería preguntarle si tenía más ejemplos ilustrativos de los diferentes estados que he intentado describir anteriormente. ¿O algún caso peligroso en el que se pueda pensar que un estado de un tipo es el otro?

Answer 1

Sí, los subsistemas de un estado enredado -si este subsistema está enredado con el resto- siempre está en un estado mixto o "mezcla estadística" que se utiliza como sinónimo en su discusión (o en otro lugar).

Si sólo estamos interesados en las predicciones de un subsistema $A$ en un sistema compuesto por $A,B$ entonces $A$ se describe mediante una matriz de densidad $\rho_A$ calculable mediante el "rastreo" de los índices del espacio de Hilbert para $B$ : $$\rho_A = {\rm Tr}_{i_b} \rho_{AB}$$ Tenga en cuenta que si todo el sistema $AB$ está en estado puro, $$\rho_{AB}= |\psi_{AB}\rangle\langle \psi_{AB}| $$ Si $\psi_{AB}$ es un estado enredado, es decir, no separable, si no se puede escribir como $|\psi_A\rangle\otimes |\psi_B\rangle$ para cualquier estado $|\psi_A\rangle$ y $|\psi_B\rangle$ entonces el rastreo tiene el efecto de escoger todos los términos en $|\psi_{AB}\rangle$ olvidando su dependencia de la $B$ grados de libertad, y escribiendo sus probabilidades en la diagonal de $\rho_{AB}$ . Por eso la entropía de von Neumann será distinta de cero: la matriz de densidad será una diagonal en una base y habrá al menos dos entradas que no sean $0$ ni $1$ .

Tomemos un sistema de dos qubits. Tenemos el qubit $A$ y qubit $B$ . Hay 4 vectores base naturales para los dos qubits, $|00\rangle$ , $|01\rangle$ , $|10\rangle$ y $|11\rangle$ donde el primer dígito se refiere al valor de $A$ y el segundo dígito a $B$ . Un estado puro general es una superposición de estos cuatro estados con cuatro coeficientes $\alpha_{AB}$ donde $A,B$ son $0,1$ , que se ajustan a los valores correspondientes.

Si $\alpha_{AB}$ puede escribirse como $\beta_A\gamma_B$ es decir, factorizado de esta manera, el estado puro es separable. $|01\rangle$ es separable, por ejemplo. Si no lo es, entonces está enredado. Por ejemplo, $|00\rangle+|11\rangle$ no es separable por lo que está enredado.

El estado mixto es un estado más general que el estado puro. En este caso, viene dado por un $4\times 4$ Matriz hermitiana $\rho$ . Las entradas de la matriz son $\rho_{AB,A'B'}$ donde los índices sin cebar y cebado se refieren a los valores de los qubits $AB$ en los vectores bra y ket, respectivamente. Si estas entradas de la matriz se pueden factorizar a $$\rho_{AB,A'B'} = \alpha^*_{AB}\alpha_{A'B'}$$ para unos coeficientes $\alpha_{A'B'}$ y sus conjugados complejos que especifican un estado puro $|\psi_{AB}\rangle$ entonces la matriz de densidad $\rho$ es equivalente al estado puro $|\psi_{AB}\rangle$ y decimos que el sistema está en estado puro. En el caso más general, $\rho$ no puede escribirse como este producto factorizado sino sólo como una suma de productos similares. Si se necesitan al menos dos términos así para escribir $\rho$ entonces el estado es mixto y la entropía de von Neumann es, por tanto, distinta de cero.