Es útil recordar las propias definiciones de los anillos en cuestión. $\mathbb Z[i]$ es por definición el subarreglo más pequeño de $\mathbb C$ que contiene $\mathbb Z$ y también $i$ . Todos sus elementos son obtenibles mediante un número finito de operaciones anulares, es decir, suma, resta, multiplicación de enteros y/o $i$ . Igualmente el anillo $\mathbb Z[x]$ tiene una propiedad similar: Todos los elementos se pueden obtener a partir de números enteros y $x$ en un número finito de pasos mediante sumas, restas y multiplicaciones. Además, $\mathbb Z[x]$ tiene por definición la propiedad univresal de que para cualquier anillo $R$ , elemento $r\in R$ , homomorfismo anular $\phi\colon \mathbb Z\to R$ existe un homomorfismo único $\Phi\colon\mathbb Z[x]\to R$ tal que $\Phi|_{\mathbb Z}=\phi$ y $\Phi(x)=r$ .
Para construir $\Phi\colon\mathbb Z[x]\to\mathbb Z[i]$ tal que $\Phi$ es sobre es, por lo tanto, bastante natural considerar como $\phi\colon\mathbb Z\to\mathbb Z[i]$ la incrustación y elegir $i$ como imagen de $x$ . Entonces dejemos que $I$ sea el núcleo de $\Phi$ . Por teorema de isomorfismo, $\mathbb Z[x]/I$ es isomorfo a la imagen de $\Phi$ . Como nuestra elección garantiza la subjetividad, concluimos $\mathbb Z[x]/I\cong \mathbb Z[i]$ como se desee.
