¿Es necesario el aire acondicionado aquí?

Question

Intentaba demostrar esta afirmación:

Dejemos que $f:X\to Y$ un mapa suryectivo y $g: X\to Z$ tal que $$\forall\,x,y\in X: f(x)=f(y)\implies g(x)=g(y).$$ Entonces existe un único mapa $h:Y\to Z$ tal que $g=h\circ f.\,\,(\ast)$

utilizando el Axioma de la Elección, como sigue.

Desde $f$ es suryente, la fibra $f^{-1}(\{y\})$ es no vacía para cada $y\in Y$ Gracias a AC, existe una función de elección $\sigma: Y\to X$ tal que $\forall\, y\in Y: \sigma(y)\in f^{-1}(\{y\})$ . Ahora, $h:=g\circ\sigma$ satisface $(\ast)$ porque $$\forall\,x\in X: h(f(x))=g(\sigma(f(x)))=g(x)$$ desde $f(\sigma(f(x)))=f(x)$ a partir de su definición y de la hipótesis sobre $g$ . Además, si $h':Y\to Z$ satisface $(\ast)$ podemos concluir que $h'=h$ De hecho, para todos los $y\in Y$ tenemos que $$h'(y)=h'(f(\sigma(y)))=g(\sigma(y))=h(f(\sigma(y)))=h(y).$$

Me gustaría entender si mi uso de la CA es correcto y necesario porque en realidad me cuesta mucho encontrar cuándo la necesito y cuándo no... Por ejemplo, sospecho que es necesario aquí porque no sabemos si $Y$ es finito y no hay ninguna propiedad común entre las fibras de $f$ que me permite elegir un elemento particular de cada uno en el mismo momento . Se agradece cualquier ayuda sobre la cuestión -y consejos sobre el uso correcto de la CA en general-.

Answer 1

Como podemos suponer $g$ es una suryección también, realmente no se trata de funciones. Se trata de las particiones que inducen. Lo que la condición dice, es que la partición inducida por $f$ afina la partición inducida por $g$ . En concreto, una fibra de $g$ es la unión de las fibras de $f$ .

Así que realmente no hay necesidad de usar AC aquí. Ya que $f$ induce una partición de la partición inducida por $g$ También induce esa función única que has descrito.

En general, cualquier tipo de definición finitaria no realmente dependen de AC. De hecho, si se quiere ser explícito, basta con definir $$h=\{(f(x),g(x))\mid x\in X\}$$ Ahora la condición de $f$ y $g$ demuestra que se trata de una función y no es difícil demostrar que satisface las condiciones necesarias.