¿Qué quiere decir Terence Tao con la afirmación "los primos se comportan al azar"?

Question

http://164.67.141.39:8080/ramgen/specialevents/math/tao/tao-20070117.smil

La hipótesis de Riemann es, según Tao, equivalente a la idea de que los números primos se comportan de forma aleatoria: se distribuyen según el teorema de los números primos, con un término de error que es exactamente el que cabría esperar de la ley de los grandes números.

¿Qué significa esto?

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Answer 1

No consigo que tu enlace funcione.

Supongamos que para cada entero positivo $n$ se lanza una moneda que tiene probabilidad $1/\log n$ de salir "primo". Entonces el número esperado de primos hasta $n$ sería $n/\log n$ . Sin embargo, habría alguna variación en torno a este valor esperado, un "término de error". El tamaño del término de error lo predice la Ley de los Grandes Números. Y sería el mismo que el predicho para los primos reales por la Hipótesis de Riemann.

Answer 2

La hipótesis de Riemann equivale a la afirmación de que, para todo $\epsilon \gt 0$ :

$\sum_{1 \le k \le n}{\lambda(k)} = O(n^{\frac{1}{2} + \epsilon})$

donde $\lambda$ es el Función de Liouville que toma valores $\pm 1$ dependiendo de si su argumento tiene un número par o impar de factores primos. Si en lugar de evaluar esta función lanzáramos una moneda y contáramos las caras como $+1$ y colas como $-1$ Esto es cierto casi con toda seguridad por la ley del logaritmo iterado .

Answer 3

Lo tomé como una afirmación general, otro profesor dijo que eran como las malas hierbas. Si llenas una pared de números y resaltas los números primos, se vería al azar. Hay varias imágenes y gráficos incluso círculos en Internet que muestran las relaciones de los números primos.