Calcula $\frac 17$ en $\Bbb{Z}_3$

Question

Calcula $\frac 17$ en $\Bbb{Z}_3.$

Tendremos que resolver $7x\equiv 1\pmod p,~~p=3.$

• Obtenemos $x\equiv 1\pmod 3.$
• Entonces $x\equiv 1+3a_1\pmod 9,$ así que $7(1+3a_1)\equiv 1 \pmod 9$ básicamente levantando el exponente de $p=3,$ obtenemos $1+3a_1\equiv 4\pmod 9\implies a_1\equiv 1\pmod 3.$
• Así que dejemos $$x\equiv 1+3\cdot 1+3^2\cdot a_2 \pmod 2\implies 7(4+3^2\cdot a_2)\equiv 1\pmod {27}\implies 4+3^2\cdot a_2\equiv 4\pmod {27}\implies a_2\equiv 0 \pmod 3.$$
• Así que dejemos $$ x\equiv 1+3\cdot 1+3^2\cdot 0+ 3^3\cdot a_3 \pmod {81}\implies 7(4+3^2\cdot 0+3^3\cdot a_3)\equiv 1\pmod {81}\implies 4+3^3\cdot a_3\equiv 58\pmod {81}\implies a_2\equiv 2 \pmod 3.$$
• Así que dejemos $$ x\equiv 1+3\cdot 1+3^2\cdot 0+ 3^3\cdot 2+3^4\cdot a_4 \pmod {243}\implies 7(4+3^2\cdot 0+3^3\cdot 2+3^4\cdot a_4)\equiv 1\pmod {243}\implies 1+3+54+3^4\cdot a_4\equiv 139\pmod {243}\implies a_4\equiv 1 \pmod 3.$$
• Así que dejemos $$ x\equiv 1+3\cdot 1+3^2\cdot 0+ 3^3\cdot 2+3^4\cdot 1+ 3^5\cdot a_5 \pmod {729}\implies 7(4+3^2\cdot 0+3^3\cdot 2+3^4\cdot 1+3^5\cdot a_5)\equiv 1\pmod {729}\implies 1+3+54+81\equiv 625\pmod {243}\implies a_5\equiv 2 \pmod 3.$$

No he trabajado pero creo que $a_6$ es $0.$

Así que la secuencia que obtenemos es $(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,\dots)=(1,1,0,2,1,2,\dots).$

Pero no estoy seguro de que sea correcto, ya que no está siendo periódico. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Lo estás haciendo bien.

Para un enfoque un poco más eficiente, tenga en cuenta que $7\mid 3^6-1$ por el pequeño teorema de Fermat. Entonces, observando que $3^6-1=7\cdot104$ tenemos

\begin{align*} \frac{1}{7} &= -\frac{104}{1 - 3^6} \\ &= -\sum_{n=0}^{\infty}104 \cdot 3^{6n} \\ &= 1 + \sum_{n=0}^{\infty} (3^{6} - 1)3^{6n} - \sum_{n=0}^{\infty}104 \cdot 3^{6n} \\ &= 1 + \sum_{n=0}^{\infty}(3^6-105)3^{6n} \end{align*}

en $\mathbb{Z}_3$ el anillo de $3$ -enteros y anádicos. Entonces, utilizando $3^6-105 = 212010_{(3)}$ se deduce que

$$ \frac{1}{7} = \overline{212010}212011_{(3)} = \overline{021201}1_{(3)}. $$

Answer 2

Vamos a utilizar aquí la expansión de los 3 radicales.

• El teorema dice: Un número racional con valor absoluto p-ádico 1 tiene una expansión p-ádica puramente periódica si y sólo si se encuentra en el intervalo real [-1, 0) . y 1/7 es periódico.
• utilizaremos primero ${-\frac{1}{7}}$ y luego negarlo.
• sabemos que ${\overline {n_0n_1...n_{k-1}} = \frac {n_0n_1...n_{k-1}}{1-p^k}}$
• El menos ${k \geq 1}$ haciendo ${3^k \equiv 1 (mod 7)}$ es k=6. Así que podemos tomar
• ${3^6=729-1 =728\equiv 0 (mod7)}$ , ahora ${728=104 \cdot 7}$ por lo que nuestra ecuación se convierte en
• ${-\frac{1}{7}}$ = ${- \frac{1\cdot104}{7\cdot104}}$ = ${- \frac{104}{3^6-1}}$ = ${-\frac{10212_3}{3^6-1}}$ = ${\frac{021201}{1-3^6}}$
• ${-\frac{1}{7}=}$ ${\overline{021201...}}$ Ahora negar para obtener la respuesta, como sabemos
• si ${x=c_dp^d+c_{d+1}p^{d+1}+...+ c_ip^i+... }$ aquí ${c_d \neq 0}$ entonces
• ${-x = (p-c_d)p^d+ (p-1-c_{d+1})p^{d+1}+...+(p-1-c_i)p^i+...}$
• ${\frac {1}{7}= {\overline {11021}}}$