Si $a_1,a_2,\dots,a_n$ son elementos de un grupo $G$ , $n\geq 2$ entonces definimos el producto $a_1a_2\cdots a_n$ con una inducción completa a $n$ con \begin{align} a_1a_2&=\text{product of $a_1$ and $a_2$ in the group}& (n=2),\\ a_1a_2\cdots a_n&=(a_1a_2\cdots a_{n-1})\cdot a_n& (n>2). \end{align} Por ejemplo: $abcde=(((ab)c)d)e)$ . Con la inducción completa a $n$ podemos deducir fácilmente de la ley asociada que \begin{align} (a_1a_2\cdots a_k)\cdot(a_{k+1}\cdots a_n)=a_1a_2\cdots a_n&&(1\leq k\leq n-1). \end{align}
¿Cuál era la hipótesis de inducción en este caso? ¿Fue por alguna $n\in\mathbb N_{>2}$ se sostiene que para todo $k\leq n$ , $$a_1a_2\cdots a_k=(a_1a_2\cdots a_{k-1})a_k.$$
¿Tengo que decir lo siguiente?
Considere $a_1a_2\cdots a_k$ y $a_{k+1}$ . Si multiplicamos estos dos, podemos escribir $(a_1a_2\cdots a_k)a_{k+1}$ . Aplica la hipótesis de la inducción y ya está.
No entiendo muy bien lo que hacen; ¿están definiendo dónde poner los corchetes? Pero un grupo obedece a la ley de asociatividad, así que ¿por qué harían eso?
EDITAR
Esta es la segunda prueba de inducción:
Caso base: $(a_1a_2)a_3=a_1(a_2a_3)$ por la ley de asociatividad. Supongamos que para algún $n>3$ se sostiene que $a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_k)\cdot(a_{k+1}\cdots a_n)$ , para $1\leq k\leq n-1$ . Considere el producto con $n+1$ factores: $a_1\cdots a_{n+1}$ . Podemos escribir esto como $(a_1\cdots a_n)a_{n+1}$ . El IH da que esto es igual a $((a_1\cdots a_k)\cdot(a_{k+1}\cdots a_n))a_{n+1}$ . Podemos utilizar la ley de la asociatividad para establecer que es igual a $(a_1\cdots a_k)\cdot((a_{k+1}\cdots a_n)a_{n+1})=(a_1\cdots a_k)\cdot (a_{k+1}\cdots a_{n+1})$ . Porque sabemos que $a_1\cdots a_{n+1}=(a_1\cdots a_n)a_{n+1}$ también es cierto para $k=n$ por lo que hemos demostrado que se mantiene para $1\leq k \leq n$ .
