Secciones globales de haces vectoriales holomorfos

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad compleja, y $\mathbb{L}\rightarrow X$ un haz de líneas holomórficas sobre $X.$

Siempre podemos encontrar secciones globales de $\mathbb{L}$ ? (aparte de la que es idéntica a cero) En una variedad real, la respuesta es por supuesto que sí debido a la existencia de la partición de la unidad.

¿Qué pasa con un haz vectorial holomorfo arbitrario $\mathbb{E}\rightarrow X$ de rango $m$ ?

Answer 1

No y no. Esta es una de las diferencias fundamentales entre la geometría holomórfica y la geometría diferencial. Por supuesto, un haz trivial tiene secciones holomorfas, así que el contraejemplo más sencillo es el siguiente haz de líneas complejas más sencillo, el haz tautológico $L\to \mathbb{C} P^1$ cuya fibra en un punto $[\ell]$ es la línea $\ell$ sí mismo. (Para ser precisos, esto define $L$ a través de una incrustación a $\mathbb{C} P^1\times \mathbb{C}^2$ .) Las secciones de este $L$ , a menudo anotado $\mathcal{O}(-1)$ son generados por $x_0^{-1}$ y $x_1^{-1}$ . Ninguno de ellos está definido globalmente, y de hecho $L$ no tiene ninguna sección global.