Convergencia débil de variables aleatorias discretas a una variable continua

Question

La pregunta es de Billingsley. $X_n \in \{\gamma_n+k\delta_n; k\in N\}, \delta_n>0$ . Supongamos que $\delta_n\rightarrow 0$ y $k_n$ es un número entero que varía con n s.t. $\gamma_n+k_n\delta_n\rightarrow x$ y $P(\gamma_n+k_n\delta_n)\delta_n^{-1}\rightarrow f(x)$ donde $f$ es la densidad de una variable aleatoria $X$ . Demostrar que $X_n\rightarrow X$ débilmente.

Mi intento: $X_n\rightarrow X$ débilmente $\iff \int gd\mu_n\rightarrow \int gd\mu$ donde $g$ es continua, acotada y creo que es suficiente para ser soportada de forma compacta. $\mu_n$ es la distribución de $X_n$ .

Así que hay que mostrar $\sum_n \delta_ng(\gamma_n+k\delta_n)P\{X_n=\gamma_n+k\delta_n\}\delta_n^{-1} \rightarrow \int g(x)f(x)dx$ que supongo que se desprende de la suma riemmaniana. Como g está acotado, podemos mover el límite hacia dentro, pero tengo problemas para pasar de $k$ a $k_n$ porque sabemos $g(\gamma_n+k_n\delta_n)\rightarrow g(x)$ y $P\{X_n=\gamma_n+k_n\delta_n\}\delta_n^{-1} \rightarrow f(x)$ es decir, tenemos convergencia para una determinada secuencia $\{k_n\}$ . Tenemos que demostrar la convergencia $\forall k$ ¿No es así? ¿Alguna idea? y ¡gracias!

Answer 1

Has redactado una de las condiciones de forma ligeramente incorrecta. Como se ha dicho, no está claro cuál es la variable $x$ tiene que ver con nada. La condición debería decir algo como: "Supongamos que siempre que $k_n$ es una secuencia de enteros con $\gamma_n+k_n\delta_n\to x$ entonces $P[X_n=\gamma_n+k_n\delta_n]\delta_n^{-1}\to f(x)$ ".

Teniendo esto en cuenta, he aquí un esquema para demostrar la afirmación. En primer lugar, hay que sustituir el $X_n$ con una versión "histogramada", llámese $X'_n$ que para cada número entero $k$ lugares de la masa $P[X_n=\gamma_n+k\delta_n]$ uniformemente sobre el intervalo de ancho $\delta_n$ centrado en $\gamma_n+k\delta_n$ . (Dado que la densidad de $X'_n$ es constante sobre el intervalo, esto restringe la altura de la densidad sobre ese intervalo a ser...) Entonces se demuestra que $X'_n$ converge en su distribución a $X$ (aplicando el resultado del ejercicio directamente anterior a éste) demostrando que la densidad de $X'_n$ converge puntualmente a la densidad de $X$ . Para demostrar la convergencia puntual, dejemos que $x$ se arreglen. Existe para cada $n$ un número entero $k_n$ tal que $x$ se encuentra en el intervalo centrado en $\gamma_n + k_n\delta_n$ . Argumentar que esto define una secuencia $(k_n)$ para lo cual $\gamma_n + k_n\delta_n\to x$ y el resultado es el siguiente.

Una vez demostrado esto, a continuación se escribe el original $X_n$ como $h_n(X'_n)$ para una secuencia adecuada de funciones $h_n$ que convergen puntualmente a la función identidad $h(x):=x$ . Entonces argumenta que $h_n(X'_n)$ converge en su distribución a $h(X)$ . (Ver el ejercicio dos anterior a este).