Demostrar que el área de un triángulo con una base y un ángulo de vértice dados es máxima cuando el triángulo es isóceles

Question

Consideremos el conjunto de triángulos que tienen una base y un ángulo de vértice dados. Demostrar que el triángulo que tiene el área máxima será isósceles.

He tomado $a$ y $\alpha$ para ser la base y el ángulo del vértice dados respectivamente. El área del triángulo en términos de sólo los lados es $\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-b^2-c^2+a^2}$ - lo obtuve de la fórmula del coseno.

Ahora bien, como $b$ y $c$ son variables (mientras que $a$ es una constante) los he tomado como $x$ y $y$ respectivamente, e intentamos maximizar esta expresión $4x^2y^2-x^2-y^2+a^2$ . Pero al tomar las derivadas parciales e igualarlas a 0, estoy obteniendo valores específicos de $x$ y $y$ en lugar de una relación como se pide en la pregunta. ¿Por qué?

Answer 1

$b$ y $c$ son variables, efectivamente, pero no son independientes. Por eso la fijación de los parciales WRT $b$ y $c$ a cero no funciona.

En su lugar, se podrían poner dos vértices en $(\pm \frac{a}{2}, 0)$ y luego el vértice superior en $(0, q)$ , donde $q$ se elige para que el ángulo del vértice sea $\alpha$ . (Pista: vas a necesitar una arctangente en alguna parte). Ese es el triángulo supuestamente optimizador, pero ¿cuáles son las otras ubicaciones posibles para ese tercer vértice?

Respuesta: Toma el círculo que contiene los tres puntos que acabo de describir. (Sólo hay un círculo de este tipo). Entonces el punto "superior" puede estar en cualquier punto del arco del círculo que esté por encima del $x$ -eje, debido a un teorema sobre los ángulos subtendidos por un arco de círculo.

Ahora tienes una sola variable -la posición de ese tercer punto en el arco superior del círculo- y puedes usar algo de cálculo para optimizar. O puedes hacer algunos buenos argumentos geométricos y evitar el cálculo por completo :)

Answer 2

Considera un triángulo con la ley de los senos configurada/anotada:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha}}\,=\,{\frac {b}{\sin \beta}}\,=\,{\frac {c}{\sin \gamma}}}$

Recordemos que el ángulo-ángulo-lado describe un único triángulo con un área dada por

$\tag 1 a^2 \frac{sin(\beta) sin(\gamma)}{2 sin(\alpha)}$

Si ambos $a$ y $\alpha$ están fijados, podemos dejar que $\beta$ sea una variable, y puede escribir

$\tag 2 \gamma = \pi - (\beta + \alpha)$

Una identidad trigonométrica útil nos permite escribir

$\tag 3 sin(\gamma) = sin(\beta + \alpha)$

Para maximizar (1), podemos ignorar los factores multiplicativos constantes, encontrando que la función

$f(\beta) = sin(\beta) sin(\beta + \alpha)$

es de interés. Utilizando la identidad de adición de ángulos del seno y la identidad de ángulos dobles del seno, se puede escribir

$f(\beta) = cos(\alpha) sin^2(\beta) + sin(\alpha) (.5) sin(2\beta)$

Utilizando de nuevo la identidad del ángulo doble, encontrarás que la derivada de $f$ con respecto a la variable $\beta$ es igual a

$\tag 4 cos(\alpha) sin(2 \beta) + sin(\alpha) cos(2\beta)$

Si se ajusta la expresión (4) a $0$ Después de un poco de álgebra se puede escribir

$\tag 5 tan(2\beta) = - tan(\alpha)$

Pero utilizando la identidad útil,

$tan(\pi - \theta) = -tan(\theta)$ encontramos que la derivada es cero cuando

$\tag 6 \beta = \frac{\pi - \alpha}{2}$

Cuando $\beta$ toma este valor también lo hace $\gamma$ por lo que estamos ante un triángulo isósceles cuando la derivada es $0$ . Examinando (1) es fácil ver que ésta es la máxima área posible para estos triángulos restringidos.