¿Se mantiene la continuidad de las medidas para las uniones incontables?

Question

Como sugiere el título, me pregunto si la continuidad de las medidas es válida para las operaciones incontables. Es decir, ¿es cierto que $E_\alpha \uparrow E \Rightarrow \lim_{\alpha}\mu(E_\alpha )= \mu (\cup_\alpha E_\alpha)$ , $\alpha \in I$ para un conjunto de índices incontables $I$ ?

Las únicas pruebas que he visto para la continuidad de la medida utilizan la aditividad contable, y para mí está claro que la aditividad incontable de las medidas no tiene sentido. Sin embargo, ¿hay una forma directa de demostrar o refutar la continuidad incontable?

Answer 1

En general, no. Toma $I=[0,1]$ (nótese el cierre en $1$ ) y definir $E_\alpha = \{0\}$ si $\alpha<1$ y $E_1 = [0,1]$ . Ahora tiene $$\bigcup E_{\alpha} = [0,1]$$ tienes $$E_\alpha \subseteq E_\beta$$ pour $\alpha < \beta$ Incluso hay un límite $\lim_{\alpha \rightarrow 1} \mu(\alpha)$ , pero es igual a $0$ .