Alta suma de partes fraccionarias

Question

Dejemos que $n\geq 2$ y $x_1,\ldots,x_n > 0$ sea tal que $x_1+\cdots+x_n =1$ . ¿Es cierto que debe existir un número entero positivo $k$ tal que $$\{x_1k\}+\cdots+\{x_nk\} = n-1?$$

Esto parece estar estrechamente relacionado con el densidad de la parte fraccionaria . Obsérvese que la cantidad $\{x_1k\}+\cdots+\{x_nk\}$ es siempre un número entero, ya que es igual a $k-\lfloor x_1k\rfloor - \dots - \lfloor x_nk\rfloor$ . Además, como cada término es estrictamente menor que uno, $n-1$ es el valor más alto que puede tomar la suma.

Answer 1

Si el $x_i$ son racionales, tomar el lcm de los denominadores y disminuirlo en $1$ .

Si no son necesariamente racionales, actúa de forma similar: utilizando, por ejemplo Teorema de Kronecker , toma un $k$ de manera que todos los $kx_i$ son suficientemente cercanos a los números enteros, y disminuyen que $k$ por $1$ .