Grupo simple con orden $\geq n!$ no puede tener subgrupo de índice $n$ .

Question

Mi problema es el que se ve en el título:

Para un número entero positivo $n>1$ demostrar que un grupo simple de orden $\geq n!$ no puede tener subgrupo de índice $n$ .

¿Podría alguien darme algunas pistas sobre cómo enfocar esto?

Answer 1

Si $[G:H]=n$ entonces $G$ actúa sobre $n$ cosets de $H$ . Por tanto, existe un homomorfismo $G$ en el grupo simétrico $S_n$ . Desde $|S_n|=n!$ entonces este homomorfismo tiene el núcleo no trivial o $G=S_n$ . Pero en el último caso $G$ tampoco es sencillo.