Desigualdad para una variable aleatoria

Question

Dejemos que $\xi > 0$ sea una variable aleatoria tal que $\mathbb E[\exp{(-\xi)}]=\exp{(-a)}$ . Cómo demostrar que para cualquier $c>0$ $$P(\xi \ge c) \le \frac{1-\exp{(-a)}}{1-\exp{(-c)}}$$

Answer 1

Una pista: Desde $\xi>0,\ c>0$ , $$ 1=e^{-\xi}+1-e^{-\xi}\geqslant e^{-\xi} + {\bf 1}_{\xi\geqslant c}(1-e^{-c})\,. $$

Answer 2

Dado que la función $1 - \exp(-x)$ es una función estrictamente creciente de $x$ en $\Bbb R$ (su derivada es $\exp(-x)$ que siempre es positivo), tenemos

$$P(\xi \ge c) = P[1 - \exp(-\xi)) \ge 1 - \exp(-c)].$$

Por la desigualdad de Markov,

$$P[1 - \exp(-\xi) \ge 1 - \exp(-c)] \le \frac{1}{1 - \exp(-c)}E[1 - \exp(-\xi)].$$

Utilizar la suposición $E[\exp(-\xi)] = \exp(-a)$ para terminar el argumento.