¿Es posible encontrar una función que sea, por ejemplo, continua de Holder, para 0<1, pero no continua de +- Holder para un valor arbitrario >0? Estaba pensando que tal vez $|x|^\alpha$ ¿podría funcionar? Es fácil demostrar que la función es continua de Holder pero no estoy seguro de cómo demostrar que no lo es cuando se hace ligeramente más grande.
Respuesta
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Tienes razón, $f(x) = |x|^{\alpha}$ obras. Se puede demostrar que no es Holder continuo con exponente $\alpha + \epsilon$ tomando $x = s$ y $y = 0$ en la definición de la continuidad de Holder: $$\frac{|f(x) - f(y)|}{|x -y|^{\alpha + \epsilon}} = s^{-\epsilon},$$ que tiende a $\infty$ como $s \to 0$ .
Sin embargo, hay que tener en cuenta que $f(x)$ es continua de Holder para exponentes menores que $\alpha$ sólo si se mira un intervalo acotado. En $\mathbb R$ no lo es, porque $$\frac{|f(s) - f(0)|}{|s -0|^{\alpha - \epsilon}} = s^{\epsilon},$$ que tiende a $\infty$ como $x \to \infty$ .
