Tira 6 dados, encuentra el número de resultados con 3 números distintos.

Question

Supongamos que tiras seis dados, ¿cuántos resultados hay con 3 números distintos?

Mi intento:

Primero hay ${6 \choose 3}$ formas de elegir estos 3 números distintos.

Consideramos 3 casos;

Caso 1: 3 pares de números repetidos, por ejemplo $223344$ . Hay ${3\choose 3}$ opciones para los valores, y para el ordenamiento hay ${6\choose 2} \times {4\choose 2}$ .

Caso 2: Un número se repite 3 veces, un número se repite dos veces, un número aparece una vez. Hay ${3\choose 1}$ opciones para el número repetido tres veces y ${2\choose 1}$ opciones para el número repetido dos veces. También hay ${6\choose 3}\times {3\choose 2}$ pedidos.

Caso 3: Un número repetido 4 veces y 2 números que aparecen una vez. Hay de nuevo ${3\choose 1}$ opciones para el número que aparece $4$ veces y el número de pedidos es ${6\choose 4}\times2\times 1$ .

Por lo tanto, en total hay $${6\choose 3}\bigg({6\choose 2} \times {4\choose 2}+3\times2\times {6\choose 3}\times {3\choose 2}+2\times 1\times{6\choose 4}\bigg)$$

¿Es esto correcto? Tengo más dudas sobre el caso 2, ¿es correcto elegir el valor para y luego seguir pidiéndolo?

Answer 1

Esto es correcto, excepto que has olvidado incluir el factor $\binom31$ para el caso $3$ en el resultado final. Podemos volver a comprobar el resultado utilizando la inclusión-exclusión: Hay $\binom63$ formas de elegir el $3$ números, y por inclusión-exclusión hay

$$\sum_{k=0}^3(-1)^k\binom3k(3-k)^6=3^6-3\cdot2^6+3\cdot1^6=540$$

formas de formar cadenas de $6$ que utilizan todos los $3$ de ellos, para un total de $10800$ , de acuerdo con su resultado.