Productos cruzados de grupos abelianos

Question

Soy un estudiante de Master y estoy buscando este documento . Aparentemente estoy muy confundido con la definición de un conjunto de parámetros y esperaba que me pudieran ayudar. Lo que me confunde es que he intentado contextualizar las cosas en un ejemplo.

Para un campo $k$ cuando tenemos un grupo finito $G$ y un subgrupo normal $N$ entonces $kG$ es un producto cruzado de $G/N$ con $kN$ y esto parece ser un hecho habitual. De hecho, $kG$ es claramente $G/N$ -y como unidad en cada componente podemos escoger el elemento que define el coset en $G/N$ (ya que los elementos del grupo son invertibles).

(Las clases de equivalencia de los productos cruzados pueden parametrizarse mediante conjuntos de parámetros. Un conjunto de parámetros es un par $(\alpha, \gamma)$ donde $$\alpha : G/N \to \operatorname{Aut}(kN) \quad , \quad g \mapsto \alpha_g$$ $$\gamma: G/N \times G/N \to \mathcal{U}(kN) \quad , \quad (g,h) \mapsto \gamma(g,h)$$ tal que ( $\iota_z$ denota la conjugación por $z$ en $kN$ ) $$\alpha_g \circ \alpha_h = \iota_{\gamma(g,h)} \circ \alpha_g$$ $$\gamma(g,h)\gamma(gh,k) = \alpha_g(\gamma(h,k))\gamma(g,hk)$$

En la página 5 (299 de la revista) se nos explica cómo calcular el conjunto de parámetros asociado a un producto cruzado: elegir un conjunto de unidades $\{u_x\}, x \in G/N$ , defina $\alpha_x := \iota_{u_g}$ y $\gamma(g,h)=u_g u_h u_{gh}^{-1}$ .

Así que quiero ver esto en el ejemplo más pequeño posible. Tomo $k=\mathbb{F}_2$ y $N=C_2$ . Entonces dejemos que $G_1=C_4$ . Así que $kG_1 = kN \oplus kNy$ , donde $\langle x \rangle = C_4$ et $y=x^2$ . Esto es $G$ -calificado y un producto cruzado.

Tengo que elegir un conjunto de unidades, una para cada componente. Elijo $u_1 = 1$ et $u_y = y$ . Entonces:

• $\alpha_1(r) = r$ Así que $\alpha_1 = \operatorname{Id}$ .
• $\alpha_y(r) = yry^{-1} = r$ porque $kG$ es conmutativo. Así que $\alpha_y= \operatorname{Id}$ .
• $\gamma(g,h) = yy^{-1} = 1$ .

por lo que parece que se trata del producto cruzado identificado por el conjunto de parámetros triviales.

Pero ahora si elijo $G_2 = C_2 \times C_2$ y repito este procedimiento en $kG_2 = (kC_2) \oplus (kC_2)b$ (donde $G_2 = \langle a \rangle \times \langle b \rangle$ ), sigo obteniendo un conjunto de parámetros triviales.

Así que parece que $kC_4$ y $k(C_2 \times C_2)$ son el mismo producto cruzado de $kC_2$ con $C_2$ ... pero esto no puede ser correcto (¿verdad?). De nuevo, estoy confundido. ¿Qué está pasando?

Answer 1

¡Tu descomposición de suma directa no es una descomposición de suma directa! Si $x$ es el generador de $C_4$ para que $N = \langle x^2 \rangle$ entonces $k[N] x^2 = k[N]$ . En cambio, deberíamos elegir $k[C_4] = k[N] \oplus k[N] x$ . Si entonces elegimos unidades $u_1 = 1, u_x = x$ (aquí estoy identificando $x \in C_4$ con su imagen en el cociente $C_4/C_2$ ) entonces obtenemos

$$\gamma(x, x) = u_x u_x u_{x^2}^{-1} = x^2 \neq 1$$

por lo que el conjunto de parámetros es interesante. En general, si $G$ es abeliano entonces el $\alpha$ todo se desvanece pero $\gamma$ será donde esté la acción.