Los cociclos y la primera cohomología

Question

Este semestre cursé teoría algebraica de números y nuestro profesor empezó a enseñar cohomología de grupos.

Dejemos que $G$ sea un grupo tal que $G$ actúa sobre un grupo abeliano $A$ . definió $H^1(G,A)$ como el siguiente grupo cociente:

$$\frac{C=\{\phi\colon G\to A\mid \phi(g_1g_2)=g_1\phi(g_2)+\phi(g_1)) \}}{D=\{\phi\colon G\to A\mid \phi(g)=ga-a \}}$$

Además, dijo que llamamos a cada elemento de $C$ y cada elemento de $D$ cofronterizo.

En cambio, en los grafos, llamamos cocíclo a todo corte. Ahora mi pregunta es ¿Existe alguna relación entre estos cócleos?

Answer 1

Esta nomenclatura proviene, muy probablemente, de la topología algebraica. He aquí una breve explicación:

Dejemos que $X$ ser un complejo simplicial es decir, un espacio topológico que se obtiene al pegar las simplices (es decir, " $n$ -triángulos dimensionales") de una manera agradable (básicamente pegando caras de una manera no degenerada). Un ejemplo de esto son los grafos: los vértices son $0$ -simplicidades y aristas $1$ -simples. Sea $S_n(X)$ sea el $\mathbb{Z}$ -que abarca el conjunto de $n$ -simplemente componer $X$ . Tenemos una secuencia de mapas $$0\stackrel{\partial_0}{\longleftarrow}S_0(X)\stackrel{\partial_1}{\longleftarrow}S_1(X)\stackrel{\partial_2}{\longleftarrow}S_2(X)\ldots$$ dado al tomar el "límite" de un elemento de un elemento. Esto se puede definir de una manera agradable, de modo que $\partial_n\partial_{n+1} = 0$ . Definimos el homología de $X$ por $$H_n(X;\mathbb{Z}) = \frac{\ker(\partial_n)}{\text{im}(\partial_{n+1})}.$$ Estos grupos son en realidad invariantes topológicos con un montón de buenas propiedades. Por razones obvias, los elementos de $\text{im}(\partial_{n+1})$ se denominan "límites". Del mismo modo, los elementos de $\ker(\partial_n)$ se llaman "ciclos", ya que son sumas lineales de $n$ -simples que no tienen límite.

Ahora existe una doble noción de cohomología que viene de dualizar linealmente la larga secuencia descrita anteriormente y hacer básicamente lo mismo. Como siempre, al dualizar las cosas añadimos un "co-" a los nombres, de ahí los nombres de "co-límites" y "cocíclos".

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Para responder rápidamente a tu pregunta: la relación entre ambos conceptos proviene del marco general de la homología/cohomología. La estructura de lo que se hace es siempre más o menos la misma: si se puede construir un complejo de (co)cadena (es decir, una secuencia larga como la que he descrito anteriormente), entonces se puede tomar (co)homología. Los elementos de la imagen del mapa límite/diferencial se llaman (co)límites y los elementos del núcleo son (co)ciclos.