¿Existen transformaciones lineales de espacios vectoriales sobre diferentes campos?

Question

Estoy en una clase de teoría de matrices, y hoy hemos empezado a hablar de transformaciones lineales. Mi profesor ha señalado que el rango y el dominio de una transformación lineal deben ser espacios vectoriales sobre el mismo campo. Esto tuvo sentido para mí al principio porque de los campos son diferentes, entonces algo como $T(cx)=cT(x)$ no tiene ningún sentido cuando c está sólo en uno de los espacios vectoriales.

Pero luego pensé que tal vez algunos campos podrían ser compatibles, como por ejemplo, $\mathbb{Z}_5$ y $\mathbb{Z}_7$

¿Existen transformaciones lineales para dos espacios sobre campos diferentes? o ¿Existen funciones que tengan las mismas propiedades que las transformaciones lineales, salvo que los espacios implicados utilizan campos diferentes?

Si la respuesta es no, ¿puede demostrarlo?

Answer 1

Si se tiene un endomorfismo de campo inyectivo $\varphi$ del campo $Fa$ al campo $Fb$ - dijo de manera diferente:

$$\forall (x, y) \in Fa \times Fa, \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b) \space \mathrm{and} \space \varphi(a.b) = \varphi(a).\varphi(b)$$

entonces $\varphi(Fa)$ es un subcampo de $Fb$ isomorfo a $Fa$

Si $Vb$ es un espacio vectorial sobre $Fb$ de dimensión finita, se puede exponer una base de $Vb$ . A continuación, se puede construir un subconjunto (no un subespacio vectorial) de $Vb$ desde la base y el campo $\varphi(Fa)$ . Este subconjunto (llamémoslo $Wb$ ) es un espacio vectorial sobre $\varphi(Fa)$ (*).

Identificando $Fa$ y $\varphi(Fa)$ se puede construir una transformación lineal (por ejemplo $\Lambda$ ) de un espacio vectorial sobre $Fa$ (decir $Va$ ) y $Wb$ .

Pero no se puede llamar a las transformaciones lineales de $Va$ a $Vb$ porque $\Lambda(Va)$ es no un subespacio vectorial de $Vb$ (a excepción del trivial $\Lambda(Va) = \{ 0_{Vb} \}$ ver más abajo). Es sólo un subespacio vectorial de $Wb$ .

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Bueno, para ser sinceros, hay un caso trivial en el que se podría exhibir un transformación pseudo lineal para $Va$ a $Vb$ :

$$\begin{align}\Lambda: &Va \rightarrow Vb \\ &x \mapsto 0_{Vb}\end{align}$$

Respeta todas las propiedades para una transformación lineal, y $\Lambda(Va) = \{ 0_{Vb} \}$ es efectivamente un subespacio vectorial pero no es realmente interesante, y desde un punto de vista estricto, como los campos son diferentes, es no una verdadera transformación lineal.

(*) Supongo que se podría extender al espacio vectorial de infinitas dimensiones, pero no sé cómo demostrarlo

Answer 2

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $K$ (es decir, un grupo abeliano en el que $K$ actos). Si $L$ es otro campo, y $K$ puede actuar sobre la estructura aditiva de $L$ (es decir, el grupo abeliano aditivo de $L$ es un $K$ espacio vectorial), entonces podemos extender $V$ a un espacio vectorial sobre $L$ utilizando productos tensoriales. Esta construcción se conoce como la extensión de escalares. Tomamos el producto tensorial de $V$ y $L$ en $K$ :

$$V \otimes_K L$$

Naturalmente, se trata de un $K$ espacio vectorial (por la construcción del producto tensorial) y un $L$ espacio vectorial (por multiplicación en el $L$ componente). Existe una función natural de $\varphi: V \to V\otimes_K L$ que es aditivo y compatible con la multiplicación por escalares en $K$ :

$$\varphi(x + y) = (x+y)\otimes 1 = (x\otimes 1) + (y\otimes 1)$$ $$\varphi(kx) = (kx\otimes 1) = (x\otimes 1_k) = k(x\otimes 1)$$

Aquí, $1_k$ destonifica la imagen de la acción de $k$ en la unidad de $L$ .